三次埃尔米特插值

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1、《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122学院:理学院班级:数学101题目:分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录I一、摘要1二、算法设计22.1分段线性插值22.2分段三次埃尔米特插值22.3功能框图3三、例题计算4四、误差及结果分析94.1例题误差分析94.2结点个数对插值结果的影响9五、总结及心得体会12参考文献13源程序14一、摘要分段线性插值与分段定义的线

2、性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺

3、点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。分段线性插值是分段低

4、次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。二、算法设计2.1分段线性插值分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来的逼近函数。设已知节点上的函数值记求一折线函数满足：（1）（2）（3）在每个小区间上是线性函数.则称为分段线性插值函数。由定义可知在每个小区间上可表示为分段线性插值的误差估计可利用插值余项公式得到或其中由

5、此还可得到在上一致成立，故在上一致收敛到。2.2分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值外还给出导数值这样就可构造一个导数连续的分段插值函数它满足条件：（1）（2）;（3）在每个小区间上是三次多项式。根据两点三次插值多项式可知，在区间上的表达式为上式对于成立。利用三次埃尔米特插值多项式的余项可得误差估计其中2.3功能框图程序可以通过输入插值函数，插值结点个数，来实现插值，还可以选择插值方式，具体框图如下开始输入插值函数选择插值方法分段线性插值分段埃尔米特插值输入插值结点个数

6、是否继续是退出否三、例题计算1.插值函数为输入6个节点的分段线性插值输入6个节点的分段三次埃尔米特插值请输入插值函数：x^2+1请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>>1请输入插值节点数N=6是否继续（1为继续）：1请输入插值函数：x^2请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>>2请输入插值节点数N=6是否继续（1为继续）：22.插值函数为输入节点为8的分段线性插值输入节点为8的分段三次埃尔米特插值请输入插值函数：cos(x)请选择插值法（1为分段线性插值，2为

7、分段三次埃尔米特插值）：>>1请输入插值节点数N=8是否继续（1为继续）：1请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>>2请输入插值节点数N=83.插值函数为输入节点为10的分段线性插值输入节点为10的分段线三次埃尔米特插值请输入插值函数：exp(x)请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>>1请输入插值节点数N=10是否继续（1为继续）：1请选择插值法（1为分段线性插值，2为分段三次埃尔米特插值）：>>2请输入插值节点数N=10四、误差及结果分析4.1例题误差分析

8、1.误差n值取8,由分段线性插值余项公式可得误差限为由插值图像和误差可知误差结果较大由分段三次埃尔米特插值余项公式可得误差限为误差为零因此分段三次埃尔米特插值较为精确2.误差n值取10，分段线性插值误差限为分段三次埃尔米特插值误差限为由误差结果可知分段三次埃尔米特插值得到的结果更为精确3.误差n值取12，分段线性插值误差限为分段三次埃尔米特插值误差限为由误差结果可知分段三次埃尔米特插值得到的结果更为精确综上可知，