浅谈数形结合在中学教学中的应用

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本科生毕业论文设计浅谈数形结合在中学教学中的应用Introductiontonumberformcombinedwiththeapplicationoftheteachinginmiddleschool数学与信息科学学院数学与应用数学作者姓名:指导教师:所在学院:专业（系）:班级（届）:二O—四年月日 目录中文摘要、关键词错误!未定义书签。齢21数形结合思想31.1数形结合思想的概述31.2数形结合思想的发展42数形结合思想在高中教学中的应用52.1数形结合的思想在集合问题中的应用52.2数形结合的思想在不等式问题中的应用62.3数形结合思想在有关方程和函数的问题屮的应用72.4数形结合在数列问题中的应用82.5数形结合思想在解析几何中的应用92.6数形结合思想在最值和极值问题中的应用112.7数形结合思想在复数中的应用122.8数形结合思想在概率屮的应用132.9数形结合思想在立体几何中的应用133运用数形结合解题常见的误区153.1数中构形，图不准确153.2形中思数，形转数不等价164数形结合思想的培养174.1加强概念教学174.2熟悉最基木图像184.3培养学生观察、联想的能力184.4利用多媒体展现数形结合，激发学生学习兴趣184.5结合学生的认知结构循序渐进地逐步渗透数学思想18 参考文献20英文摘要、关键词错误!未定义书签。 浅谈数形结合在中学教学中的应用摘要：新课程标准要求教师越来越重视学生关于数学思想和方法的教学，数形结合就是一种重耍的数学思想。数形结合就是通过图像表现和代数的论断研究数学问题的数学思想方法。本文研究/数形结合思想的概念，并从数学史的发展角度研宄了数形结合作为一种数学思想方法的重要性。数形结合的思想方法贯穿了整个高中阶段的学〉」，在各个板块的学习中都伴随着数形结合的应用。通过例题解析我们发现，数形结合在解题过程中可以化繁为简，使解题思路清晰明了，是高中数学中非常重要的一种方法。所以文章最后论述了在中学教学中数形结合思想方法的培养。关键词：数学思想数形结合应用方法培养 IntroductiontonumberformcombinedwiththeapplicationoftheteachinginmiddleschoolAbstract:Thenewcurriculumstandardsrequiringteacherstoteachstudentsabouttheincreasingemphasisonmathematicalideasandmethods，Thecombinationofalgebraandgraphisanimportantmathematicalideas.Thenumbershapeunionisamathematicalthoughtthatisthroughvisualimageandabstractalgebratostudythemathematicalproblem.ThispaperstudiestheconceptofThenumbershapeunion,andfromtheAngleofthedevelopmentofthemathematicalhistoryresearchestheimportanceofthenseveralshapescombination”asamathematicalway.Thenumbershapeunionasamathematicalwayisthroughoutthehighschooloflearning，andineachsectionofthestudyareaccompaniedTheCombinationofapplications.Resolvedbyexample,wefoundthatTheCombinationofcansimplifytheproblem-solvingprocess，sosolvingideasclarity,itisanimportantmethodinhighschoolmathematics.Sothearticlefinallydiscussesthecultivationmethodologyofnumbershapecombinationinthemiddleschoolteaching.Keywords:mathematicalthought.numbershapeunion,application,methodstocultivate 绪言近几年，数学题目对数学思想方法的考查非常重视，因此，教师要重视对数学思想的教学与渗透。数学教学的根本目的是让学生亲自参与到数学的认知活动中去，从而发现、体会它们所包含的的数学思想方法。当数学思想或数学方法被我们理解、吸收，我们才能全面的考虑问题，提出新想法，巧妙地解决问题。数学思想是我们在学习教材知识的同时挖掘出来的隐形的知识，这需要我们不断地练和总结，奋意识的培养数学素质，体会数学的逻辑思维。在现实生活中，我们总是能够看到各种数和形，它们作为数学研究的两个方面是分不开的，把数与形结合起来就是把直观与抽象的结合起来，也就是把认知与思维的结合起来。数形结合的思想是随着数学的发展而发展，是处理数学问题经常用到的工具，主要表现在解析几何知识部分，可以说，数形结合思想是解决和处理解析几何问题的精髓。世界空间无不是“数”和“形”的矛盾的统一，他们在一定前提下是能互相转换的。代数是对图形的定量分析，图形是代数的直观反映。将已知转化角度来思考，结合图像的直观性质，巧妙使用数形结合的方法能使很多概念和关系更明朗具体，减少思维的阻碍,提供简单快速的解题思路，使我们在难题面前豁然开朗，并且简化解题过程，从而解决问题。使用数形结合时要注意数与形之间的转换，它可以把代数关系转化为图形直观，也可以把图形直观转化为代数关系。1数形结合思想1.1数形结合思想的概述数学是研宂空间图形和代数关系的科学，中学中研宂探讨最多的两个侧而就是数与形，因而，数与形的结合是解决问题的必然趋势。数形结合思想就是在解决问题是我们要综合考虑数与形，把图形的直观的性质和代数抽象的关系对应起来，互相转化，寻找简便的解题路径，从而化繁为简，变抽象为具体。在解题时运用数形结合，不仅仅是把代数关系转化为儿何图形，或者把儿何图形抽象为代数关系，要把二者结合起来，互相补充转化，来考虑解决问题。数形结合思想的应用主要是分为两方面：一方面，借助数的严谨性来反应图形的某些性质，主要应用在解析几何中；另一方面，利用图形直观的几何性质来反应代数关系，主要运用在求图形的面积，求点与点、点与线、线与线之间的距离，求函数的值域、最值及极值，找方程的根及讨论根的情况，求不等式的解集，解决简单的线性规划等的问题。 1.2数形结合思想的发展数形结合的思想方法贯穿了整个高中阶段的学习，在各个板块的学习中都伴随着数形结合的应用，有意识地运用数与形相结合的方法去认识分析数学问题，不断地练习总结，体会数形结合在解决问题时的优点，理解领悟抽象的概念，扎实基础，逐渐形成良好的数学观。因此，我们要了解数与形的发展与演变。1.在古代，人类为了能够表示数，采用形形色色的图形来记录。在古代计数法中，我们常会用儿何图形来表示抽象的数，算盘的产生就是数形结合的典型。2.几何学的产生是数学又一巨大发展，代表性的著作是《几何原本》。但是《几何原本》不是单纯的几何学（“形”）的知识。几何学的发展是与测量相关的，“几何学”的希腊文尺哗打pm意为“测地”，研宄的主要是几何图形的代数性质。典型的数形结合的研宂是对“形数”的研宂，“形数”中存在一些非常有趣的定理，它们能够只通过几何方法来进行证明，快速简便，准确直观，通过图形我们就可以看出结论是否正确，如：定理“对于任意一个正方形数都可以转化成两个相连的三角形数的和”（证明见图1.1）图1.1图例3.对图形中点线位置对比，以及对线段的测量和比较，发现其中的数量关系，促进代数的发展，使计算方法更丰富。如完全平方公式+++的证明（见图1.2）aab图1.2图例4.关于数与形的统一有两次发展，一是引入数轴，二是引入平而直角坐标系，通过它 们，我们把数与点，有序数对与点结合起来，这祥，我们在处理问题时，全面考虑题目的条件与结论，通过把代数关系转化为几何图形，亦或者把几何图形转化为代数关系来解决问题，使问题解决更多元化。1.笛卡尔之后，数与形更进一步结合起来。如：数学分析中，求导数即求切线的斜率;积分就是曲边梯形的面积。代数中，求方程的根即求函数y=图像与x轴的交点的横坐标；求矩阵的特征向量变换为求解坐标轴变换后的主方向。数学思想是数学发展的产物，是我们学习理解教材知识和解决数学问题必不可少的工具和手段，因而，在教学过程中重视数学思想方法的渗透和培养。在数学的发展史中我们感受到数形结合的思想的重要性，从而我们要体会数形结合在数学屮的应用。2数形结合思想在高中教学中的应用数形结合是解决数学问题一种有效的手段，它把图形的基本性质和抽象的代数关系结合起来，分析问题时，转化角度，图形直观地反应出代数关系，代数关系准确地验证图形的性质，两者结合处理问题事半功倍。数形结合的思想方法贯穿了整个高中阶段的学〉J，在各个板块的学习中都伴随着数形结合的应用，如：①通过数轴和韦恩图示来表述集合;②利用函数图像解决函数值域、最值等问题；③利用函数圏像求解方程的根；④把数列的通项公式和函数联系起来，利用函数图像处理问题；⑤在解析几何中把有序数对和点联系起来研究图形性质；⑥利用空间直角坐标系解决空间几何问题；⑦利用图形的几何度量解决概率问题。2.1数形结合的思想在集合问题中的应用图示法是集合表示的重要方法之一。集合的交集、并集、补集的运算的有效手段是数轴和Veen图，经常使用数形结合处理集合问题,用数轴和Veen图表示集合，使问题更明朗化，清晰地分析出结果快速准确解题。例2.1某一个班级一共50人报名参加两项比赛，其中X项30人参加，而K项33人参加，我们还知道两项都不参加的人数比两项都参加的1还耍多1人，问只参加X项,3但没有参加y项的一共有多少人？分析：在这个问题中代数关系复杂不容易理清，我们可以把问题集合化，利用韦恩图使问题直观，清晰。假设W项都参加的有*人，都不参加的有人。根据题意可得图1 根据图像，我们可以很清晰的得出如下关系：(30-4+x+(33-x)+尸50;已知y=+联立方程求解得则只参加X项，不参加K项的人数为9人。解题过程中使用Veen图示代数关系更加明朗化，解题简便。2.2数形结合的思想在不等式问题中的应用利用图形处理简单的线性规划。解决不等式的问题,我们借助辅助函数，分析函数图像的性质，从图形上寻找解题的思路。在处理不等式的问题中，数形结合方法会使我们处理问题事半功倍，如求解/(X)〉的解集转化为函数;>，=/(•¥)图像位于函数=^(%)图像上方点的横坐标的集合；含有绝对值的不等式借助数轴求解解集;图2.2图例例2.2不等式的解集是(x-2A.(--0]u(2,4]B.[0,2)u[4,+oo)C.[2,4)D.(-oo,2]u[4,oo)分析：在这道题0中，如果我们按照不等式的常规解法，那么题目会变得很复杂。如果，创造辅助函数y=l和y=并作出函数图像。x-2通过作函数的图像，我们很直观的发现在区间[0,2)和区间[4，+oo)上函数y一的图像在x-2函数y=的图像下方，所以答案为B。题目充分体现了数形结合的直观性和简便性。例2.3若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<“无解，则实数《的取值范围。 分析：|x-5|表示数轴上的点X到点5的距离；|%+3|表示数轴上的点X到点-3的距离;由图像可知：数轴上的点％到点5的距离与点;v到点-3的距离的和最小值为8,即x-5+%+328，因此右|x—5|+|%+3<6/无解，应有6zS8o阁2.3阁例2.3数形结合思想在有关方程和函数的问题中的应用函数有三种表示法分别是解析式法、图像法、列表法，这就很容易看出函数是数与形结合的知识，我们研宄函数既要研宄其代数意义，乂要理解其几何直观，两者都能体现函数的性质。我们要熟练掌握六种初等函数的图像以及二次函数与对勾函数的图像，在解与函数有关的题FI时，把代数关系与图像有机结合，灵活地运用函数图像，好多问题解法会更简单直观。方程的求根其实就是函数图像的应用，求解方程/U)=o的根，即求函数=/U0的图像与x轴交点的横坐标。利用函数图像解题时，抓住函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，从图像的性态、结构、变化趋势、凹凸程度，定性地分析，结合代数关系定量地计算，解决问题。例2.4讨论关于x的方程=+2的根的情况。分析：本题如果按普通的解方程的步骤进行处理，讨论根的情况，过程会变得十分复杂。我们可以引入两个辅助函数y=和y=/nr+2。则讨论原方程根的问题转化成研宄两个函数图像交点的个数问题。易知函数y=的图像为半支抛物线，函数+2的图像为过y轴上的点(0,2)，斜率为m的直线束。有他们的相关位置可得解法:分别作出函数y=y/x-5和函数y=nu+2的图像。这里y=/wc--2的图像为过y轴上的点(0,2),斜率为m的直线束。我们取出其中的三条直线/:,/2，/3,使/,过抛物线的顶点(5,0)，/2与％轴平行，&与半抛物线和切，如图2.4所示，则有=o，易5,2求得1。由此可知：109 图2.4图例I7当m〉i与m<-三时，直线与半抛物线无交点，即原方程无解；105当m=l时，直线与半抛物线相切，即原方程有一个实根；10当时，直线与半抛物线只有一个交点，即原方程有一个实根；5当00,)?>0)0问题即转化为：在0，y>0,x2+y2=4时，证明x+yUW。在解析几何中，求证圆x2+/=4的第一象限的部分曲线与直线系x+y4相交，截距最大为2人。 图2.9图例如图所示，在第一象限，当直线与椭圆x2+y2=4相切时，截距最大，求解得到/?=2人。综上所述即证得」2a+1+a/2Z?+1S2W。2.7数形结合思想在复数中的应用为了使负数开平方有意义，进一步扩充数系，引入了复数。为了更好地研究复数，引入复平面，这样就在“数”与“点”之间建立了联系，同时使得辐角与倾斜角，模与距离建立联系。研宂复数时，可以借助与几何直观，采用几何术语，为研宂复数提供了方便。例2.10已知zeC，且»去，求|z+l|得取值范围。分析：已知z表示复平面上以原点为圆心，以1为半径的圆上的点及其内部的点，22z+l|表示复平面内点z到点-1的距离。如图2.10所示，点z到点-1的距离最小为j,最大为互，所以丄+2212 图2.9图例如图所示，在第一象限，当直线与椭圆x2+y2=4相切时，截距最大，求解得到/?=2人。综上所述即证得」2a+1+a/2Z?+1S2W。2.7数形结合思想在复数中的应用为了使负数开平方有意义，进一步扩充数系，引入了复数。为了更好地研究复数，引入复平面，这样就在“数”与“点”之间建立了联系，同时使得辐角与倾斜角，模与距离建立联系。研宂复数时，可以借助与几何直观，采用几何术语，为研宂复数提供了方便。例2.10已知zeC，且»去，求|z+l|得取值范围。分析：已知z表示复平面上以原点为圆心，以1为半径的圆上的点及其内部的点，22z+l|表示复平面内点z到点-1的距离。如图2.10所示，点z到点-1的距离最小为j,最大为互，所以丄+2212 2.8数形结合思想在概率中的应用在概率中，古典概型和几何概型是高考的重点，其中在几何概型的求解过程中我们可以采用数形结合的方法，利用图形的儿何度量来计算概率。f0。在区域D内随机取一个点，则[0是棱>^的2中点，DC'1BDo(1)证明：DC；IfiC;(2)求二面角大小。 4图2.12.1图例分析：（1）要证DqiSC,需证DC,丄平面BCD，因为DqiSZ）,易求得DC^+ZX^zCC,2。（2）求角时首先求法向量，法向量我们可以借助空间直角坐标系。解答：（1）由题意知，三棱柱的侧面为矩形。£＞是棱M的中点，所以得到因为，设AC=;v,则＜；£＞=£）€；=▲。所以DCf+DC^Cq2，己知叫丄BD，所以DC,丄平面Z?C£＞,所以DqiBC。（2）由（1）知DqiBC，且fiC丄CC,，所以BC丄平面ACC,，故而CA，CB，CC'WW互相垂直。故建立如图2.12.2所示空间直角坐标系。图2.12.2图例由题意知A（l，0,2）,B（O，1，O），£＞（1，0，1），C,（0,0,2）o所以$5二（0,0,一1）,=（ 1-1,1）,DC,=（-1，0，1）。设"=（x，y，z）是平面A"/）的法向量，那么nBD=On-A}D=Q，即x-)’+z=Oz=0可取G=G,1，O）。同上所述，设：是平面C^D的法向量，那么m-BD=0m.DQ=0所以cos（/7,-。故而二面角A,--C,的大小为30（23运用数形结合解题常见的误区在运用数形结合思想时，我们一定要遵循等价原则，等价原则就是要求数与形之间的转化必须是对应的，即研究问题的图形能够正确反映代数之间的关系，代数关系要严谨地反映图形的几何性质。另外，还要遵循数形互补原则，数与形相互转化，综合考虑，寻求最简单的求解途径，否则，我们就经常出现以下错误情况。3.1数中构形，图不准确借助图形解题，一定要严格考虑题S中的条件，作出精确图形，在定性的分析问题吋可以只作草图，但必要时还需对图形的直观分析给出严谨的证明。例3.1方程x2=2x的解的个数为（）。八.0B.1C.2D.3 错解：在同一坐标系内画出函数y=x2和函数yW的图像草图，如图3.3.1所示，他们有两个交点，故选C。 正解：在画图时，我们只注意了函数图像的大致走向，而没有精确作图，从而导致错误。事实上，如图3.1.2所示，当x<0时，两个函数图像有一个交点；当i〉0时，由于两个函数的增长速度不同，使得两个图像奋两个交点。故选D。图3.1.2图例因此，我们再借助图形解题，作图时一定要注意以下几点：图像是不是画全；图像的关键点；图像的对称性，凹凸性，奇偶性；图像的增长速度。3.2形中思数形转数不等价再利用代数关系解决图形问题吋，一定要使代数关系和图形的几何意义对应，否则，我们得到的代数式就是错误的。例3.2已知椭圆f+f=1（“〉/?〉0），从中心作两条互相垂直的弦/IC，BD。顺a1b-次连接A，B，C，D得一四边形，记其面积为S，求S的最小值。错解：先画出图形，如图3.2所示，由对称性可知，四边形为菱形，根据椭圆的参数方程设点A的坐标为A（6/cos久Z?sin的，0<^<|,由于AC丄可得点 acos71，/?sin71化简为£>(—“sin沒，Z?cos句，那么S=4SM0D=20A-0D,而20A•0D=2^Ja2cos2d^b2sin23•yla2sin23+b2cos20=2.yja4cos2沒sin20+a2b2cos40+a2b2sin4沒+//sin2沒cos2沒=2^/(“4+/?4)cos2汐sin2沒+<72/?2(l—2sin2沒cos2沒)=2^J(a2-b2)2~sin220+a2b2＞2」a2b2=2ab当sin20=0时，等号成立，故S有最小值2M。分析：在椭圆中，用参数方程表示椭圆时，离心角特别容易与倾斜角相混渚，本题就是混淆了点A的离心角和04的倾斜角，导致问题错解。正解：设CM二/]，0D=r2,0A的倾斜角为＜9,所以点A坐标为cos久sin沒），Z(71、.（兀、r,cose+-，匕sin0+—{2>一12>7点£＞的坐标为D，即£＞（-r2sin沒，r2cos沒），分别代入+^-=1并联立化简得：—+a2b2丄山a2b2r,2Z92厂i厂22a2b2a2+b2b2S=20A-OD—2y2>4a2b2a2+b2,当且仅当z]=r2时等号成立，即点A在直线y=;c上时S有最小值4W-a2+b24数形结合思想的培养《义务教育数学课程标准》明确提出“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的“四基”标准，这就要求我们就一定要重视数学思想的培养。而数学是研究数与形两个方面的一门学科，我们在分析问题，解决问题吋，要把两者结合起来，把两者完美的结合在一起考虑问题，可以互相促进，推进数学的发展和完善。因此，我们要加强数形结合思想的培养。4.1加强概念教学数学思想是我们在学习教材知识的同时挖掘出来的隐形的知识，而数形结合的思想大 多蕴含在概念的教学中，加强概念教学，在概念教学中，把抽象概念赋予形的直观，尤其是具有几何意义的概念（复数，复数的模，绝对值，导数等），给出概念，结合几何图形讲几何意义更易理解和把握，在概念的形成过程中体会数形结合思想。4.2熟悉最基本图像运用数形结合解决问题，首先我们要对基本图像熟悉掌握，尤其是六种基本初等函数的图像及二次函数和绝对值函数，只有掌握函数的图像，我们才能更快的反应出函数的性质。另外，熟练应用图像的各种变换（伸缩、平移、翻转、对称）作图，如函数＞，=+的图像可利用函数i的图像向右平移一个单位得到，这样我们可以根据基本函数的性质处理复杂函数。4.3培养学生观察、联想的能力在数学教学中，形象思维和抽象思维相结合可提高学生的想象力和创造力，形象思维可以提供各种想象，联想，创造性构思。解决问题时，要善于观察，发掘问题中的特点，通过这些特点联想以前学过的知识，把问题与学过的知识联系起来，对知识进行转化化简，提高利用数形结合处理问题的能力。如函数y二3sinX—2，通过观察，联想到表3cosx-2x-a示点（x，z）与点以旬连线的斜率，故将知识转化为以原点为圆心，以3为半径的圆上的点（3cosx，3sinx）与点（2,2）连线的斜率。4.4利用多媒体展现数形结合，激发学生学习兴趣信息技术进入数学，我们可以利用多媒体课件进行教学。利用多媒体课件，可以使数与形之间建立相应的对应，使图形动态地直观地展现在学生面前，这样学生能够更直接的理解我们所要学习的内容，理解数形结合解题的优越性。如在学习平行线的性质时，利用几何画板动态变化截线，通过观察角的变化，可以很快得到平行线的性质。利用多媒体讲解数形结合更加的直观，使学生更容易理解和领悟，从而激发学生的学兴趣，提高教学质量。4.5结合学生的认知结构循序渐进地逐步渗透数学思想学生的心理认知的发展是一个由浅入深、由简单到复杂的发展过程。教师要遵循这一规律开展教学，例如对于一些比较抽象的概念，我们可以采取数形结合的方式讲解，使学 生更易理解。平时，学生在学习中不断运用数形结合解决问题，体会数形结合的优点，逐渐的理解、领悟、运用这一数学思想。 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