例谈含参不等式恒成立问题的求解策略

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1、例谈含参不等式恒成立问题的求解策略：近几年在数学高考中经常遇到含参数不等式的恒成立问题。本文根据高考题及高考模拟题总结了五种常见的解决不等式恒成立问题的方法。　　关键词：含参不等式;恒成立　　　　一、用一元二次方程根的判别式　　有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。一般地，对于二次函数,有　　1）对恒成立;　　2）对恒成立　　例1．设，当时，恒成立，求实数m的取值范围。　　解：设，则当恒成立　　当显然成立；　　当时，如图，恒成立的充要条件为：　　　　　　　　　　综上可得

2、实数m的取值范围为。　　关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。　　二、最值法　　将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：　　1）恒成立　　2）恒成立　　例2函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围。　　解：若对任意恒成立，　　即对恒成立，　　考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线的最小值得　　注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。　　三、分离变量法　　若所给的不等式能通过恒等变形将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，从而问题

3、转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：　　1）恒成立　　2）恒成立　　例3.已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。　　解：x∈［0，1］时，，即　　①当x=0时，a∈R；　　②当x∈时，问题转化为恒成，由恒成立，即求的最大值。设。　　因为减函数，所以当x=1时，。　　　　由恒成立，即求的最小值。设。因为增函数，所以当x=1时，，可得a≤0。　　由①②知。　　关键点拨：在闭区间［0，1］上使分离出a，然后讨论关于的二次函数在上的单调性。　　四、变换主元法　　处理含参不等式

4、恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。　　例4．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求x的取值范围．　　分析：习惯上把x当作自变量，记函数，于是问题转化为：当时，恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．　　解：设函数，显然，则是p的一次函数，要使恒成立，当且仅当时，解得x的取值范围是．　　注：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．　　五、数形结合

5、法　　1）函数图象恒在函数图象上方；　　2）函数图象恒在函数图象下上方。　　例5．设若不等式恒成立，求a的取值范围.　　解析：设，它表示的是圆心为半径为2的半圆（如图所示）.　　另设，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a的直线，将两者图像画在同一坐标系下，根据不等式的几何意义，要使得半圆恒在直线的上方（包括相交），当且仅当时才成立，所以a的取值范围就是.　　由上可见，含参不等式恒成立问题覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结，解这类题才能得心应手。