含参不等式恒成立问题求解策略.pdf

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1、ATHEMATICS．数里乾坤含参不等式恒成立问题求解策略宁波外国语学校张蕾含参不等式恒成立问题主要有两种类型：一是已知某个不等式恒成立，求其中参数的取值范围；二是证明含有参数的某个不等式恒成立．解决这两类问题的关键是要合理转化函数，利用函数性质或图象求解，我们将其归纳为最值法和数形结合法．最值法就是将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题．我们一般可以通过直接分类讨论、分离参数和变换主元三种方法求函数的最值．下面就具体问题分析三种方法的实际应用．例1[2011年高考数学北京卷(理科)第l8

2、题第Ⅱ小题]已知函数，()=(—k)2eT，若对于任意的∈(0，+∞)，都有f(x)≤，求JI}的取值范围．解析：／)：2()e÷+()2e÷：1e÷()·()．根据题意，对于任意的∈(0，+∞)，~ff()≤，即f(x)≤．若Jc>0，因为，(+1)：(+1一)2e：+÷>，不满e足对于任意的z∈(0，+∞)，都有_厂()≤一I，所以k<0．e当00，函数f(x)单调递增；当>一k时，f()<0，函数(x)单调递减，所I'Xf(x)(一k)=(一k一)2e≠：因为I厂()

3、≤，所以4k2≤．．又k<0，解eee得一÷≤<0．点评：直接对参数进行分类讨论是求解含参不等式恒成立问题的常用方法．在例l中，我们通过对参数k的正负的讨论，建立rk与的关系式，进而得解．e例2若kx—lnx+2>0恒成立，求k的取值范围．解析：由题意可知x>0．要使kx—lo_x+2>0恒成立，则lr恒成立设g()：—lnx-2>—．，则k>g()⋯令g()=-3--1nx=0,，／g-=e。．当0O，一函数g(x)单调递增；当x>e时，()<0，函数g(x)单调递减，所以

4、g()=g(e3)=去，J}>．ee点评：直接对参数进行分类讨论求最值有时会比较烦琐．如果能通过恒等变形分离出参数，将不等式转化为一端是参数、另一端是变量表达式，就能使研究的函数不再含有参数，避免了对参数的讨论．例3[2012年高考数学浙江卷(理科)第22题第1小题]已知a>0，b∈R，函数厂()=4ax3-2bx—a+b．证明：当0≤≤I时()+I2a—bI+a>-O．解析：设函数h(b)()+l26I+a=4ax3-2bx+b+I261．当b<2a时，h(6)=^l(b)=4ax3-2bx+

5、2a=一26+2a(2x+1)；当b>2a时，h(b)=^2(b)=4ax3-2bx+2b一2a=(2-2x)b+2a(2x一1)．当b=2a时，hl(2a)=^2(2a)=4ax3-4ax+2a．因为E[0，1]，所以当b<2a时，h(b)=^．(b)=一2x≤0，函数h(b)在(一∞，2a)上单调递减；当b>2a时，h(b)=h(b)=2—2x≥0，函数h(b)在(2a，+∞)上单调递增，所以函数h(b)=^l(2a)=^2(2a)=4ax3-4ax+．2a=2a(2x3-2+1)．设函数g

6、()：h2x+l，g，()：缸一2：6(一)．(什∈[0'孚<0，函数g()单调递减；当∈(，】l时，g，()>0，函数魄所(x／3Y，(孚+AI-HEMATIC5．数里乾坤l：1一：1一>0．99因为h(b)=2a(2x3I+1)≥2a·g(x)，所以由a>0，g()：g(＼：j)>0可得(6)>10，即厂()+I一bl+nI>0．点评：有些含参不等式的恒成立问题，在分离参数时会遇到需要多次讨论的麻烦，这时如果我们变换主元，就会简化问题、降低难度．在例3中，若以常规的思路，将函数看成以为主元、

7、以a，b为参数的函数，则会涉及三次函数的单调性问题，要进行多次分类讨论．而通过变换主元，就使得解题思路更简洁明快．如果含参不等式恒成立问题不方便转化为求函数最值I；q题，还可尝试采用数形结合法，通过作出函数图象求解．若由原不等式直接转化得到的函数图象不易画出，可以先通过等价变形，将不等式变形为不等号左右两个式子，并将这两个式子分别看成两个函数，然后将两个函数的大小关系与函数图象的位置关系一一对应求解．当f(x)>g()时，函数f(x)的图象恒在函数g()图象的上方；当f(x)

8、(x)的图象恒在函数g()图象的下方．一例4若对于任意的(0，)，2一log~x-1<0恒成立，求a的取值范围．1解析：log~x---4

9、要使对于任意的(0，)，2一÷1，因为当∈(0，)时(0)<厂()<厂(孚)__1’而g(水0I叵成立，所以函棚图象不可能恒在函数g(x)图象的下方，所以0