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1、模糊控制技术及应用姜静电气与电子学院集合论基础集合的概念集合是现代数学中一个最基本的概念，人们是在实践中认识集合的所谓集合是指“具有某种属性的对象的全体”(简称为集)。例如全世界所有的火车、某个学校的学生、全体自然数等等都是集合。组成集合的每一个成员叫做这个集合的元素(简称为元)。任何一个概念都有它的内涵和外延。概念的内涵指这一概念的本质属性；概念的外延指这一概念的全体对象，即一个集合。讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。这个讨论的范围，称为“论域”，论域中每个对象称为“元素”。同一集合中的元素都具有某种共同性质，人们就是根据这种性质，来判断某一
2、讨论范围内的事物是否属于该集合的常用大写字母A,B,C…,X,Y,Z…等表示集合，而用一些小写字母a,b,c…,x,y,z…等表示元素，显然集合总是由一些元素构成的。而论域中某个元素是否属于某个集合，结论是很清楚的。元素a如果具备基本集合M的特征，即是集合M的元素，记作a∈M，元素a如果不具备集合M的特征，即不是集合M的元素。元素a与集合M的关系只有两种关系通常用下列两种方法来表示一个集合：第一种是列举法。把集合的元素全部列出来，写在花括号内用来表示集合，这种方法称为列举法。例如，由小于10的正整数组成的集合，可以表示为{1，2，3，4，5，6，7，
3、8，9}。第二种是描述法。把描述集合中元素的共同属性或表示集合中元素的规律，写在花括号内用来表示集合。由小于10的正整数组成的集合，还可表示为：{x︱x<10且x∈N}与集合有关几个术语：（１）论域：被考虑的所有元素的全体称为论域。用大写字母表示。（２）空集：不含论域上任何元素的集合。用 表示．（3）全集：论域的全体称为全集。用表示。（4）包含：设A、B是论域X上的两个集合，若对任意的 ，都有 ，则称B包含Ａ。记为 或(5)相等：如果 且 ，则称A和B相等。记A=B。（6）子集：若 ，则称B是A的子集。显然有（7）幂集：集
4、合A的全体子集组成A的一个子集族，称为集合A的幂集。记为P（A）(8)并集:设,则叫做A与B的并集,算符∨表示析取.(9)交集:设,则叫做A与B的交集,算符∧表示合取.(10)补集:设,则叫做A的补集(11)差集:设,则叫做B对A的差集，简称A-B，或AB.称为A与B的对称差.例题设A={a,b,c}，则A的幂集是：上例中P(A)含有8个元素，一般地有，若A是含有n个元素的有限集，则A的幂集P(A)含有2n个元素，换而言之，含n个元素的集合A恰含有2n个子集，这里Φ和A本身也是A的子集。二、集合的运算性质(1)幂等律(2)交换律(3)结合律(4)分
5、配率(5)同一律(6)复原律(7)互补律(8)对偶律（DE-Morgan律)集合运算性质的证明三、集合的表示方法1、列举法:把一个集合的元素列举出来,并用花括号括起来。例：A={1，2，3，4，5}不大于100的全体正整数的集合可记为：N={1，2，3，…，99，100}这种方法可推广到可数的无限集，例如，自然数集可记为：N={1，2，3，…，n，…}2、描述法：用集合中元素的共性来描述集合。通常的记法是：A={x︱P(x)},表示具有性质P的全部元素所组成的集合例：平面上建立直角坐标系后，记M={(x,y)︱2x+y=4}，表示坐标满足方程2x+y
6、=4的所有点的集合，它们位于这个平面的一条直线上3、特征函数表示法：利用经典集合非此即彼的明晰性来表示集合，即以集合中的元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合。例：小于10的数构成偶数的集合为，若小于10的数x属于偶数集合A，集合A就可以用特征函数来表示，即则注意：以上表示是分数形式，但不表示分数。分母表示集合中的元素，分子表示该元素的特征函数值，“+”不表示加而表示列举集合元素个数。集合元素的个数成为该集合的基数。映射映射是数学中最基本的概念之一由定义知，若f是满射时，则V中每一个元素都有原象，若f是单射时，则U中不同的元素有不同的象，即u1≠u
7、2时，f(u1)≠f(u2)例题设X是全体整数集，Y是全体正整数集，设f：X→Y为：y=f(x)=︱x︱+1，显然f是X到Y的满射，但f不是单射例题设y=sinx，x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,+1]，那么，[-1,1]是y轴的一个子集，所以这个映射是X到Y内的映射例题设y=x3，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)，这个映射是x轴到y轴上的双射，因为它即是满射，同时也是单射。映射的逆也是一个重要概念，我们有：关系直积关系关系的合成等价关系特征函数特征函数是用来研究集合的一种重要方法集合之间的关系及集合的运算都可以用特征函数来描述，我们有：模糊集
8、合模糊集合的概念普通集合具有“非此即彼”的性质，因此它只能描述内涵和外延十分明确的概念，例如“所有大于1的实
