逻辑代数基本知识

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1、逻辑代数的基本知识1.逻辑代数的基本定律根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。①交换律：A+B=B+A，A•B=B•A；②结合律：A+(B+C)=(A+B)+C，A•(B•C)=(A•B)•C；③分配律:A•(B+C)=A•B+A•C，A+B•C=(A+B)•(A+C)；④互非定律:A+A=l，A•A=0；，；⑤重叠定律（同一定律）：A•A=A，A+A=A；⑥反演定律(摩根定律）：A•B=A+B9A+B=A•B，；⑦还原定律:2.逻辑代数的基本运算规则（1）代入规则在逻辑函数表达式中凡是

2、出现某变量的地方都用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。例如，已知A+AB=A，将等式中所有出现A的地方都以函数(C+D)代替则等式仍然成立，即（C+D)+(C+D)B=C+D。（2）反演规则对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“•”换成“+”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原函数Y的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。运用反演规则时应注意两点：①要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。例：应写为证：②不属于单变量上的非号应保留

3、不变。　　例：　　则　　　　　　则　（3）对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式Y中所有的算符“•”换成“+”换成“•”，常量“0”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是Y的对偶式，记为Y’。例如：若Y=A•(B+C)，则Y'=A+B•C；若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的“非”号应保持不变。3.逻辑代数的表示方法逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图、波形图等方法来表示。（1）真值表以表格的形式反映输入逻

4、辑变量的取值组合与函数值之间的对应关系。它的特点是直观、明了，特别是在把一个实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用真值表最为方便。因此，在进行数字电路的逻辑设计时，首先就是根据设计要求，列出真值表。（2）函数表达式用与、或、非等逻辑运算表示逻辑函数中各个变量之间逻辑关系的代数式，叫做函数表达式或逻辑表达式。这种表示方法书写简洁、方便，其主要优点是便于利用逻辑代数的公式和定理进行运算、变换。它的缺点是不如真值表直观，尤其是在逻辑函数比较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。（3）逻辑图逻辑图是指用逻辑图形符号来表

5、示逻辑函数与变量之间的逻辑关系。一般图形符号都有相应的电路器件，所以逻辑图也叫逻辑电路图，它比较接近工程实际。（4）卡诺图卡诺图实际上是真值表的另一种表示形式，我们将在下面逻辑函数的化简部分中详细介绍。（5）波形图波形图是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。【例5.1】已知函数的逻辑表达式为Y=B+C。要求：（1)列出相应的真值表；（2)已知输入波形，画出输出波形；（3)画出逻辑图。【解】①将A，B，C的所有组合代入逻辑表达式计算，得到真值表如表5-6所示。②

6、根据真值表，画出例5.1的输出波形，如图5-13所示。根据逻辑表达式，画出逻辑图如图5-14所示。图5-13例5.1波形图图5-14逻辑图表5-6例5.1真值表4.逻辑代数的化简同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。逻辑形式越简单，它所表示的逻辑关系就越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑关系。因此，经常需要通过化简的手段来找出逻辑函数的最简形式。（1）逻辑函数的最简形式化简的形式一般称为与或逻辑式，最简与或逻辑式的标准如下：①逻辑函数式中乘积项（与项）的个数最少；②每

7、个乘积项中的变量数最少。（2）逻辑函数的代数化简法1）并项法利用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。例如：2)吸收法利用公式A+AB=A及AB+AC+BC=AB+AC，消去多余乘积项。例如：3)配项法利用公式A+A=1，给某个乘积项配项，以达到进一步简化。例1.例2.5.卡诺图化简法（1）最小项1）最小项的定义对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而在P中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称P是N个变量的一个最小项。因为每个变量都有以原变量和反变量两种可能的形式出现，

8、所以N个变量有个最小项。2）最小项的性质P24表-16列出了三个变量的全部最小项真值表。由表可以看出最小项具有下列性质：性质1：每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为“1”，而其他变量取值都使它的值为“0”。性质2：任意两个不同的最小项的乘积恒为“0”。性质3：全部最小项之和恒为“1”。由函数的真值可以很容易地写出函数的标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标