清华大学自主招生暨领军计划数学试题精校word版,带解析-历年自主招生考试数学试题大全

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1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．取决于的值【答案】C【解析】注意，答案C．2．已知的三个内角所对的边为．下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（）A．B．C．D．【答案】AD．3．已知函数，下列说法中正确的有（）A．在点处有公切线B．存在的某条切线与的某条切线平行C．有且只有一个交点D．有且只有两个交点第11页共11页【答案】BD【解析】注意到为函数在处的切线，如图，因此答案BD．4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点．下列说法中正确的有（）A．以线段为直

2、径的圆与直线一定相离B．的最小值为C．的最小值为D．以线段为直径的圆与轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B，C，设，则，于是，最小值为4．也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误．5．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．下列说法中正确的有（）A．时，满足的点有两个B．时，满足的点有四个C．的周长小于D．的面积小于等于第11页共11页【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得

3、最大的点位于短轴的两个端点；对于选项C，的周长为；选项D，的面积为．6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．以下说法正确的有（）A．四点共圆B．四点

4、共圆C．四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，即得；对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；对于选项C，即得．答案：AC．8．是为锐角三角形的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第11页共11页【答案】B【解析】必要性：由于，类似地，有，于是．不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形．9．已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，故．若，则，可得；若，则，可得；若，则，进而解得；若，则，可得．答案：B．1

5、0．集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B11．已知，则下列各式中成立的有（）A．第11页共11页B．C．D．【答案】BD【解析】令，则，所以，以上三式相加，即有．类似地，有，以上三式相加，即有．答案BD．12．已知实数满足，则的最大值也最小值乘积属于区间（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，于是可得，左侧等号当或时取得；右侧等号当时取得．因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当第11页共11页时取得，从

6、而原式的最大值与最小值的乘积为．答案B．13．已知，则下列结论正确的有（）A．的最大值为B．的最大值为C．的最大值为D．的最小值为【答案】ABD14．数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（）A．为定值B．或C．为完全平方数D．为完全平方数【答案】ACD【解析】因为，选项A正确；由于，故，又对任意正整数恒成立，所以，故选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错误．说明：若数列满足，则为定值．15．若复数满足，则可以取到的值有（）第11页共11页A．B．C．D．【答案】CD【解析】因为，故，等号分别当和时取得．答案CD．16．从正2

7、016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到，因此所求正多边形的个数为．答案C．17．已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点．若为定值，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点，可得，故意为定值，所以，答案：C．说明：（1）若将两条直线的方程改为，则；（

8、2）两条相交直线上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或椭圆．18．关于的不定方程的正整数解的组数为（）A．B．C．D．第11页共11页【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可