2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]_历年自主招生考试数学试题大全

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1、--.WORD格式.资料.2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数f(x)(x2a)ex有最小值，则函数g(x)x22xa的零点个数为（）A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)exg(x)，答案C．2．已知ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有（）A．a1,b2,cZB．A1500,asinAcsinC2asinCbsinBC．cosAsinBcosCcos(BC)cosBsinC0,C600D．a3,b1,A600【答案】AD．3．已知函数f(x)x21,g(x)lnx，下列说法中正确

2、的有（）A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点----专业.整理----.WORD格式.资料.【答案】BD【解析】注意到yx1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD．4．过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有（）A．以线段AB为直径的圆与直线x3一定相离2B．

3、AB

4、的最小值为4C．

5、AB

6、的最小值为2D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A，点M到准

7、线x1的距离为1(

8、AF

9、

10、BF

11、)1

12、AB

13、，于是以线段AB为直径22的圆与直线x1一定相切，进而与直线3211x一定相离；对于选项BCA(4a,4a)，则B(,)，，，设4a212a于是

14、AB

15、4a22，最小值为4．也可将

16、AB

17、转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；4a2对于选项D，显然BD中点的横坐标与1

18、BM

19、不一定相等，因此命题错误．25．已知F1,F2是椭圆C:x2y21(ab0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列说法中正确的有a2b2（）A．a2b时，满足F1PF2900的点P有两个B．a2b时，满足F1PF2900的点P有四个----C．PF1F2的

20、周长小于4aD．PF1F2的面积小于等于----a22----专业.整理----.WORD格式.资料.【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周长为2a2c4a；选项D，F1PF2的面积为1

21、PF1

22、1

23、PF1

24、

25、PF2

26、21a2．

27、PF2

28、sinF1PF222226．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者

29、是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OCAB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有（）A．O,M,B,P四点共圆B．A,M,B,N四点共圆C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OBMOAMOPM即得；对于选项B，若命题成立，则MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MBNMOPMAN即得．答案：AC．8．sinAsinBsinCcosAcosBcosC是AB

30、C为锐角三角形的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件----专业.整理----.WORD格式.资料.【答案】B【解析】必要性：由于sinBsinCsinBsin(2B)sinBcosB1，类似地，有sinCsinA1,sinBsinA1，于是sinAsinBsinCcosAcosBcosC．不充分性：当A,BC4时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．29．已知x,y,z为正整数，且xyz，那么方程1111的解的组数为（）xyz2A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于11113，故3x6．2xyzx若x3，则(y6)(z

31、6)36，可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；若x4，则(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；若x5，则3112,y20,y5,6，进而解得(x,y,z)(5,5,10)；10yzy3若x6，则(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6))．答案：B．10．集合A{a1,a2,,an}，任取1ijkn,aiajA,ajakA,akaiA这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为（）A．6B．7C．8D．