浅谈导数与微分

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1、学校：贵阳学院系别:数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：09应数班科目：数学分析选讲老师：姚老师姓名：郑刚学号：090501401007浅谈导数与微分一、引言我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，那我就分别从导数和微分的定义与应用来讨论它们的联系与区别。二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x0处有改变量Dx，函数y=f(x)相应的改变量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，若这两个改变量的比当Dx®0时存在极限，我们就称函数y

2、=f(x)在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作或f¢(x0)或或．即=f¢(x0)=比值表示函数y=f(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率，导数则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢．如果当Dx®0时的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在．在定义中，若设x=x0+Dx，则(2-1)可写成f¢(x0)=根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下：第一步：求函数的改变量D

3、y=f(x0+Dx)-f(x0)；第二步：求比值；第三步：求极限f¢(x0)=．例1求y=f(x)=x2在点x=2处的导数．解Dy=f(2+Dx)-f(2)=(2+Dx)2-22=4Dx+(Dx)2；=4+Dx；=(4+Dx)=4．所以y¢

4、x=2=4．：当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作；当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作．据极限与左、右极限之间的关系f¢(x0)Û存在,，且==f¢(x0)．2.导函数的概念如果函数y=f(x)在开区间(a,

5、b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f¢(x0)，这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f¢(x)或y¢等．根据导数定义，就可得出导函数f¢(x)=y¢=导函数也简称为导数．注意：（１）f¢(x)是x的函数，而f¢(x0)是一个数值（２）f(x)在点处的导数f¢(x0)就是导函数f¢(x)在点x0处的函数值．例2：求y=C(C为常数)的导数．解　因为

6、Dy=C-C=0，=0，所以y¢==0．注：常数的导数恒等于零例3：求y=sinx,(xÎR)的导数．解　=，在§1-7中已经求得=cosx，即(sinx)¢=cosx．用类似的方法可以求得y=cosx,(xÎR)的导数为(cosx)¢=-sinx．三、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点x0处可导，则存在极限=f¢(x0)，则=f¢(x0)+a(a=0)，或Dy=f¢(x0)Dx+a×Dx(a=0)，所以Dy=[f¢(x0)Dx+a×Dx]=0．这表明函数y=f(x)在点x0处连续．但y=f(x

7、)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的．高阶导数的概念设函数y=f(x)存在导函数f¢(x)，若导函数f¢(x)的导数[f¢(x)]¢存在，则称[f¢(x)]¢为f(x)的二阶导数，记作y¢¢或f¢¢(x)或,，即y¢¢=(y¢)¢==．若二阶导函数f¢¢(x)的导数存在，则称f¢¢(x)的导数[f¢¢(x)]¢为y=f(x)的三阶导数，记作y¢¢¢或f¢¢¢(x)．一般地，若y=f(x)的n-1阶导函数存在导数，则称n-1阶导函数的导数为y=f(x)的n阶导数，记作y(n)或f(n)(x)或,，即

8、y(n)=[y(n-1)]¢或f(n)(x)=[f(n-1)(x)]¢或=．因此，函数f(x)的n阶导数是由f(x)连续依次地对x求n次导数得到的．函数的二阶和二阶以上的导数称为函数的高阶导数．函数f(x)的n阶导数在x0处的导数值记作记作y(n)(x0)或f(n)(x0)或等．例4求函数y=3x3+2x2+x+1的四阶导数y(4)．解y¢=(3x3+2x2+x+1)¢=9x2+4x+1；y¢¢=(y¢)¢=(9x2+4x+1)¢=18x+4；y¢¢¢=(y¢¢)¢=(18x+4)¢=18；y(4)=

9、(y¢¢¢)¢=(18)¢=0．四、导数的物理应用速度与加速度设物体作直线运动，位移函数s=s(t)，速度函数v(t)和加速度函数a(t)分别为v(t)=，a(t)=．设位移函数为s=2t3－gt2，(g为重力加速度，取g=9.8m/s2)，求t=2s时的速度和加速度．则v(2)==(2t3－gt2)¢

10、t=2=(6t2－gt)

11、t=2=24－19.6=4.4(m/s)；a(2)==(2t3－gt2)¢¢

12、t=2=(6t2－gt)¢

13、t=2=(12t－g