期望-方差公式

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1、期望与方差的相关公式-、数学期望的来由早在17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道题目,题目是这样的:甲乙两个人赌博,他们两人获胜的机率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平?  用概率论的知识,不难得知,甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4,或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎,乙的期望所得值为25法郎。  这个故事里出现了“期望”这个

2、词,数学期望由此而来。定义1若离散型随机变量可能取值为(=1,2,3,…),其分布列为(=1,2,3,…),则当<时,则称存在数学期望,并且数学期望为E=,如果=,则数学期望不存在。定义2期望:若离散型随机变量ξ,当ξ=xi的概率为P(ξ=xi)=Pi(i=1,2,…,n,…),则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望,反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质(1)设C是常数,则E(C)=C。(2)若k是常数,则E(kX)=kE(X)。(3)。三、方差的定义10前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的

3、平均水平,是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下,仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的,还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度,这就是方差的概念。定义3方差:称Dξ=∑(xi-Eξ)2pi为随机变量ξ的均方差,简称方差.叫标准差,反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X的数学期望存在,若存在,则称为随机变量X的方差,记作,即。方差的算术平方根称为随机变量X的标准差,记作,即由于与X具有相同的度量单位,故在实际问题中经常使用。Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度,Dξ越大表示平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度,若X的取值相

4、对于其数学期望比较集中,则其方差较小;若X的取值相对于其数学期望比较分散,则方差较大。若方差=0,则随机变量X以概率1取常数值。由定义4知,方差是随机变量X的函数的数学期望,故当X离散时,X的概率函数为;当X连续时,X的密度函数为。求证方差的一个简单公式:公式1:证明一:10证明二:可以用此公式计算常见分布的方差四、方差的性质(1)设C是常数,则D(C)=0。(2)若C是常数,则。(3)若与独立,则公式2:。证由数学期望的性质及求方差的公式得可推广为:若,,…,相互独立,则(4)D(X)=0P(X=C)=1,这里C=E(X)。五、常见的期望和方差公式的推导过程(一)离散型随机变量

5、的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明101.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:(1)pi≥0,i=1,2,…;(2)p1+p2+…=1。2.离散型随机变量期望和方差的性质:E(a+b)=aE+b,D(a+b)=a2D。(1)公式3:E(aξ+b)=aEξ+b,证明:令为常数也为随机变量所以的分布列为   … …   … …==说明随机变量的线性函数的期望等于随机变量期望的线性函数(2)公式4:D(aξ+b)=a2Dξ(a、b为常数).证法一:因为10所以有:证毕证法二:Dξ=.E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ.(二)二项分布公

6、式列举及证明1.二项分布定义:若随机变量的分布列为:P(=k)=Cnkpkqn-k。(k=0,1,2,…,n,0<p<1,q=1-p,则称服从二项分布,记作~B(n,p),其中n、p为参数,并记Cnkpkqn-k=b(k;n,p)。2.对二项分布来说,概率分布的两个性质成立。即:(1)P(=k)=Cnkpkqn-k>0,k=0,1,2,…,n;(2)P(=k)=Cnkpkqn-k=(p+q)n=1。二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布,它有着广泛的应用。3.服从二项分布的随机变量的期望与方差公式:若ξ~B(n,p),则Eξ=np,Dξ=npq(q=1-p).(1)公式5:求证

7、:Eξ=np方法一:在独立重复实验中,某结果发生的概率均为(不发生的概率为,有),那么在次实验中该结果发生的次数的概率分布为10服从二项分布的随机变量的期望.证明如下:预备公式因为所以==所以=得证方法二:证明:若,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数,现在我们来求X的数学期望。若设i=1,2,…,n则,因为,所以,则可见,服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。需要指出,不是所有的随机变量都存在数学期望。公式610求证:服从二项分布的随机变量的方差公式7:Dξ

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