数值分析复习题

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1、第一章利讼1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时，一般要经历哪几个阶段？在哪些阶段将有哪些误差产生？（12分）答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果；建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差:截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。第二章彡项式锸值1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：(1)xi-101/21f;-3-1/201(2)-101/21-3/2001/2解⑴••方法一

2、.由Lagrange插值公式(X)=/0•ZoU)+7；•⑶+/2-Z2(x)+/3-/3(x)=2(%2-l)(x-士)(x+l)x(x-l)2*2*("2)/3(x)(X+1)x(%—+)♦可得：L3(x)=x2(x-1/2)3、已知A1345/⑹2Ab654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求J'M的三次插值多项式弋，并求/(2)的近似值(保留四位小数).(x-3)(x-4)(x-5)(x-l)(x-4)(x-5)LAx)-2+6答案：(I-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)+5

3、(x-l)(x-3)Cv-5)+4(x-l)(x-3)(x-4)(4—1)(4—3)(4一5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为xiV/一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-I01/4PJjr)=/V3(j)=2+2(x-1)—(J—I)(x—3)+丄(x—I)(jv—3)(x-4)4/(2)«F3(2)=5.55、己知/GO在人，/=0(1)4的函数值如下表xi01234/（〜）0182764利用插值公式计算/（0.5）的值。（12分）解：函数/（＞0的差分表如下人fi△//A001

4、16768120/'A4//182737464X=0.5,贝什=(0.5—0)/1=0.5，由Newton向前插值公式，可分别求得(%)=/()+今，=0+lx0.5=0.5/v2w=/o一d=一025△3厂N3(x)=N2(x)+-1)(，-2)=0.125•A4f/V4(X)=/V3(X)+—-1)(r-2)(t-3)=0.125+0=0.125•例3设1.5,2,2.5,3,用三次插值多项式求/(1.2)及/(2.8)的近似值.解相应的函数值及差分#如下函数值一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分2.7

5、18284.48169>7.2890612.1824920.085541.763412.903474.793437.903051.143961.886063.109620.742101.22356女•<(0.48146求/(2.8)用Newton后插公式，且由2.8=3+0.5/，得戶-0.4/(2.8)«7V3(2.8)=20.08554+7.90305x(-0.4)3.10962(-0.4)x(-0.4+1)1.22356__3!__(-0.4)x(-0.4+1)(一0.4+2)函数值一阶差分二阶差

6、分三阶差分四阶差分2.718284.481697.2890612.1824920.085541.763412.903474.793437.903051.143961.886063.109620.742101.223560.48146二15.7680872.求乂(1.2)用Newton前插公式，且由1.2=1+0.5^得Z=0.4/(1.2)«^,(1.2)=2.71828+1.76341x0.4+1.143960.4x(0.4—1)0.742103!0.4x(0.4-l)(0.4-2)=3.333863

7、2.第四幸、獻值叙令龙紱梯形公式:"’麟今丨/⑻十綱cba+b中矩形公式：£f^dx«(/?-6/)/(^—)fbb—Cl6Z+/?辛普生公式：ff{x)dx-+4/(-—)4-/(^)]62梯形公式和屮矩形公式都具有一次代数精度，而辛荇生公式具有三次代数精度。1、复化梯形公式定理3设/(x)eC2[0】，则复化梯形公式有误差估计pbb—aiffMdx-Tn<——h-max

8、/7x)

9、.1Va<,x<,b2、复化辛甫生公式定理4设/(x)eC4㈨札则复化辛甫生公式有误差估计沪bh—UiffMdx-Sn

10、<——A4max

11、/(4)(x)

12、Ja28803、复化柯特斯公式lbf(X)dx-Cn<^=^945-)6-max

13、/(6)(x)

14、41蹦自适应复化求积法基本思路：在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。此时的步长/?，既能保证精度要求又使计算工作量最小.自适应复化梯形法的具体计算过程如下：步1hn<—19h<—b-a，T'

15、