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1、1、对于积分En=xnex-'dx(n=0丄2…)为何用递推公式Efl=l-nEn-i，计算不稳定,0应如何改进？(计算过程保留六位有效数字)11解：利用分部积分=^xnex-]dx=xnex-'lQ-nxn-xex-xdx=-nEn_{00容易算出Ex=~,取六位有效数字0.367879推出：eE2=0.264242……E9=-0.0684800•・•0＜兀七iv1故鸟v0绝对错误，现分析误差传播：E]=E]+£E2=1-2£)=1-2(&+£)=1-2E]-2£=疋2-2£E3=1-3£2=1
2、-3(£2-Ze)"-?®+3・2w=E3+2・3w依此类推饥=£/+9任,误差急剧放大。191改进算法：En_{=-(l-Ezt)，若何Z£O0=0为出发值，谋差可变为原來的——倍,n"20!计算结果如门E20=0Eg=0.050000…Eg=0.0916123=E：N+1
3、2、对很大的正数N,如何构造算法，使Jr必的计算过程稳定N+1]解：[dx=arctan(7V+1)-arctanN21+Qtan(tz-/?)=tanq—tan01+tancrtan0ctan<7-tanBa-p=arctan1+
4、tanatan0令x=tan&y=tan0,则arctanx一arctany=arctan1+xyN+lfN11+x2dx=arctan1+N(W+1)uarctan3、构造两种递推公式计算人二（丄dx（n=（）,l,2・・・）并说明两种方法的优劣心+5*ISr"7-1L1解：in+5Z/,_1=f-—dx=xn-xdx=-,从而得出两种递推公式：ox+5on算法1：in=1-5/^,lfx/0=lnl.2,有谋差£,到你误差放人了（—5）"倍，算n法不好算法2：/心=丄（丄-/”），任取匚“，即使有误
5、差£,到人的吋候，缩小到了原5n来的（-丄）”,算法很好厂4-11、解：A=-14.252.75<12.753.5丿5<4-11）/r6]4、用平方根法解方程组-14.252.75无2—-0.5<12.753.5丿/申丿」25丿4—1A广4>0,=425=16>0A3=detA=16>0,故A对称正定2llICholesky分解求得L=-0.520.51.51）由Ly=b解得）=（30.5-1）7,再由lTx=y解得x=（211）75、为什么在用Gauss消去法解线性方程组时，选主元法稳定，试举例说明。
6、解：主元是Gauss消去法消元与冋代过程中的分母，分母过小会放人课差，故应选绝对值最大者为主元。现举例说明：计算过程保留两位有效数字解0.0010x（-0.12x2=-0.240.1OX]+0.24x2=0.59增广矩阵为(A,b)=0.0010-0」2-0.24/0.100.240.59回代x2=^=2.1,X,-0.24+0.12x2.1=120.10与准确解兀］=1.07…,x2=2.00••-相差很远_0.100.240.59__0.100.240.59_0.0010-0.12-0.24_0-0
7、.12-0.25现改为选主元的方法:冋代%2m.l,/皿9-0.2x2.[0.59-0.50“90一0」210.100」0可得到比较接近准确的解。0-2、21,若用Gauss-Seidel方法解方程Ax=b时，是否收敛?(-212解：XJ-Gauss-Scidcl方法迭代矩阵'300、-1<002、G=02000-1、一212丿<000丿0一护=0几1・22、3_~2H12>=0,入=—3120(G)花，故GaZ认法收敛。x,+0.4兀2+0.4兀3=19、设方程组J0.4%,+兀2+0&3=2，试考察
8、用Jacobi法求解的收敛性0.4兀]+0.8x2+兀3=310.40.4解：A=0.40.8=D-L-U0.40.81其^D=diagl11],E=<000、<00.40.4、L=—0.400U=-000.8卫・40.80丿<00o>Jacobi法迭代矩阵‘0-0.4-0.4、B=DL+U)=-0.40-0.80.4-0.80丿10.40.4det(A/-B)=0.4A0.8=(2-0.8)(才+0.82一0.32)=00.40.8A故=0.8,223=-0.4±V048p(B)=0.4+V048>
9、1.09>1故用Jacobi法解此方程组不收敛。4兀1+兀2=42x}+4x9+不=310、用追赶法求解线性方程组q123(过程可用分数计算)2x2+4x3+X4=22x3+4x4=141241解：24wi1u2c2u3c3W414a】=2
