导数中双变量的函数构造

导数中双变量的函数构造

ID:23433292

大小:208.14 KB

页数:10页

时间:2018-11-07

导数中双变量的函数构造_第1页
导数中双变量的函数构造_第2页
导数中双变量的函数构造_第3页
导数中双变量的函数构造_第4页
导数中双变量的函数构造_第5页
资源描述:

《导数中双变量的函数构造》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、

2、导数中双变量的函数构造21.(12分)已知函数().  (1)若函数是单调函数,求的取值范围;(2)求证:当时,都有.21.解:(1)函数的定义域为,∵,∴,∵函数是单调函数,∴或在上恒成立,①∵,∴,即,,令,则,当时,;当时,.则在上递减,上递增,∴,∴;②∵,∴,即,,由①得在上递减,上递增,又,时,∴;综上①②可知,或;...............................6分(2)由(1)可知,当时,在上递减,∵,∴,即,∴,要证,只需证,即证,令,,则证,令,则,∴在上递减,又,∴,即,得证................................12分

3、[典例] 已知函数f(x)=ax2+xlnx(a∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直.(1)求实数a的值;

4、(2)求证:当n>m>0时,lnn-lnm>-.[解] (1)因为f(x)=ax2+xlnx,所以f′(x)=2ax+lnx+1,因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3,所以f′(1)=3,即2a+1=3,故a=1.(2)证明:要证lnn-lnm>-,即证ln>-,只需证ln-+>0.令=x,构造函数g(x)=lnx-+x(x≥1),则g′(x)=++1.因为x∈[1,+∞),所以g′(x)=++1>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增

5、.由已知n>m>0,得>1,所以g>g(1)=0,即证得ln-+>0成立,所以命题得证.1.(2017·石家庄质检)已知函数f(x)=a-(x>0),其中e为自然对数的底数.(1)当a=0时,判断函数y=f(x)极值点的个数;(2)若函数有两个零点x1,x2(x1<x2),设t=,证明:x1+x2随着t的增大而增大.解:(1)当a=0时,f(x)=-(x>0),f′(x)==,令f′(x)=0,得x=2,

6、当x∈(0,2)时,f′(x)<0,y=f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,y=f(x)单调递增,所以x=2是函数的一个极小值点,无极大值点,即函数y=f(x

7、)有一个极值点.(2)证明:令f(x)=a-=0,得x=aex,因为函数有两个零点x1,x2(x1<x2),所以x1=aex1,x=aex2,可得lnx1=lna+x1,取对数,做差将两个零点x1,x2(x1<x2),用t表示,注意的隐含范围。lnx2=lna+x2.故x2-x1=lnx2-lnx1=ln.又=t,则t>1,且解得x1=,x2=.所以x1+x2=·.①令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=.令u(x)=-2lnx+x-,得u′(x)=2.当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(

8、1)=0,由此可得h′(x)>0,故h(x)在(1,+∞)上单调递增.因此,由①可得x1+x2随着t的增大而增大.2.(2016·全国乙卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;

9、(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.解:(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(

10、1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点.③设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)

11、<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(2)证明:不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.设g(x)=-xe

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。