河南省洛阳市2017-2018学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

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2017-2018学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷　一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（　　）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}2．已知f（2x+1）=4x2，则f（﹣3）=（　　）A．36B．16C．4D．﹣163．下列函数，既有偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（　　）A．B．y=e﹣xC．y=﹣x2+1D．y=lg|x|4．已知集合M={x∈R|ax2+2x﹣1=0}，若M中只有一个元素，则a的值是（　　）A．﹣1B．0或﹣1C．1D．0或15．函数的定义域是（　　）A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2]6．方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（　　）A．0B．1C．2D．37．若函数f（x）=2x2﹣ax+5在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]8．已知，则f（﹣2）+f（2）的值为（　　）A．6B．5C．4D．39．函数的图象大致为（　　）A．B．C．D．第17页（共17页） 10．已知2x=3y=a，则，则a值为（　　）A．36B．6C．D．11．已知a=2，b=4，c=25，则（　　）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b12．若对于任意x∈（﹣∞，﹣1]，都有（3m﹣1）2x＜1成立，则m的范围是（　　）A．B．C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1]　二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知幂函数f（x）的图象过点（4，2），则=　　．14．已知函数f（x）=1+loga（2x﹣3）（a＞0且a≠0）恒过定点（m，n），则m+n=　　．15．计算=　　．16．已知f（x）是R上的奇函数，当时x＞0，f（x）=4x﹣x2．若f（x）在区间[﹣4，t]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是　　．　三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设全集U=R，集合．（1）求A∪B，（∁UA）∩B；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，且B∪C=C，求a的取值范围．18．如图所示，定义域为（﹣∞，2]上的函数y=f（x）是由一条射线及抛物线的一部分组成．利用该图提供的信息解决下面几个问题．（1）求f（x）的解析式；（2）若x关于的方程f（x）=a有三个不同解，求a的取值范围；（3）若，求x的取值集合．第17页（共17页） 19．设函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|+3，x∈R．（1）王鹏同学认为，无论a取何值，f（x）都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若f（x）是偶函数，求a的值；（3）在（2）的情况下，画出y=f（x）的图象并指出其单调递增区间．20．某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：月份1月2月3月数量（万件）11.21.3为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可选择二次函数y=px2+qx+r（p，q，r为常数，且p≠0）或函数y=abx+c（a，b，c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．21．已知函数是（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）若实数t满足f（t﹣1）+f（t）＞0，求t的取值范围．22．对于函数f（x），若存在一个实数a使得f（a+x）=f（a﹣x），我们就称y=f（x）关于直线x=a对称．已知f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+ex﹣1）．（1）证明f（x）关于x=1对称，并据此求：的值；（2）若f（x）只有一个零点，求m的值．　第17页（共17页） 2017-2018学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（　　）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0}．故选：D．　2．已知f（2x+1）=4x2，则f（﹣3）=（　　）A．36B．16C．4D．﹣16【考点】3T：函数的值．【分析】设2x+1=t，则x=，从而f（t）=（t﹣1）2，由此能求出f（﹣3）．【解答】解：∵f（2x+1）=4x2，设2x+1=t，则x=，∴f（t）=4×（）2=（t﹣1）2，∴f（﹣3）=（﹣3﹣1）2=16．故选：B．　3．下列函数，既有偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（　　）A．B．y=e﹣xC．y=﹣x2+1D．y=lg|x|【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．第17页（共17页） 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B、y=e﹣x=（）x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C、y=﹣x2+1为二次函数，其对称轴为y轴且开口向下，则其既是偶函数，又是（0，+∞）上的减函数，符合题意；对于D、y=lg|x|，有f（﹣x）=lg|﹣x|=lg|x|，是偶函数，在（0，+∞）上，y=lgx为增函数，不符合题意；故选：C．　4．已知集合M={x∈R|ax2+2x﹣1=0}，若M中只有一个元素，则a的值是（　　）A．﹣1B．0或﹣1C．1D．0或1【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】集合M只含有一个元素，说明方程ax2+2x+1=0只有一个解．a=0时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；a≠0时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式△=4﹣4a=0，所以解出a即可，这样a的值就都求出来了．【解答】解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程ax2+2x+1=0只有一个解；（1）当a=0时，方程化为2x+1=0，只有一个解；（2）当a≠0时，若ax2+2x+1=0只有一个解，只需△=4﹣4a=0，即a=1；综上所述，可知a的值为a=0或a=1．故选D．　5．函数的定义域是（　　）A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2]【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】第17页（共17页） 由分母中根式内部的代数式对于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣3＜x＜2．∴函数的定义域是（﹣3，2）．故选：A．　6．方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（　　）A．0B．1C．2D．3【考点】52：函数零点的判定定理；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程log3x+x=3的解的问题可转化为函数y=log3x和y=3﹣x的图象的交点问题，故可利用数形结合求解．【解答】解：方程x+log3x=3的解为x0，就是方程log3x=3﹣x的解为x0，在同一坐标系中做出y=log3x和y=3﹣x的图象，如图，观察可知图象的交点在（2，3）内，所以n=2．故选：C．　7．若函数f（x）=2x2﹣ax+5在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]【考点】3W：二次函数的性质．【分析】先求出函数f（x）=2x2﹣ax+5的单调增区间，然后由题意知[1，+∞）是它调增区间的子区间，利用对称轴与区间的位置关系即可解决．【解答】解：函数f（x）=2x2﹣ax+5的单调增区间为[，+∞），又函数f（x）=2x2﹣ax+5在区间[1，+∞）上为单调递增函数，知[1，+∞）是单调增区间的子区间，第17页（共17页） ∴≤1，则a的取值范围是a≤4．故选：D．　8．已知，则f（﹣2）+f（2）的值为（　　）A．6B．5C．4D．3【考点】3T：函数的值．【分析】先分别求出f（﹣2）=1+log24=3，f（2）=22﹣1=2，由此能求出f（﹣2）+f（2）的值．【解答】解：∵，∴f（﹣2）=1+log24=3，f（2）=22﹣1=2，∴f（﹣2）+f（2）=5．故选：B．　9．函数的图象大致为（　　）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】构造函数h（x）=，g（x）=2x，通过函数的图象性质，判断函数的图象．【解答】解：设函数h（x）=是奇函数，g（x）=2x，为非奇非偶函数，所以函数为非奇非偶函数，所以图象不关于原点对称，所以排除A，C．第17页（共17页） 当x＞0时，h（x）=1，所以此时f（x）=2x，为递增的指数函数，所以排除D，故选：B．　10．已知2x=3y=a，则，则a值为（　　）A．36B．6C．D．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意，由指数式与对数式的互换公式可得x=log2a，y=log3a，进而变形可得=loga2，=loga3，又由，即loga2+loga3=loga6=2，由对数的运算性质计算可得答案．【解答】解：根据题意，2x=3y=a，则有x=log2a，y=log3a，则=loga2，=loga3，若，即loga2+loga3=loga6=2，则a=；故选：D．　11．已知a=2，b=4，c=25，则（　　）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：由a=2=b=4=根据指数函数的单调性，∴a＞b．a=2=，c=25，∴a＜c，可得：b＜a＜c．故选：A．　第17页（共17页） 12．若对于任意x∈（﹣∞，﹣1]，都有（3m﹣1）2x＜1成立，则m的范围是（　　）A．B．C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1]【考点】3R：函数恒成立问题；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由已知x的范围求得2x的范围，进一步得到的范围，把不等式（3m﹣1）2x＜1恒成立分离参数m，则答案可求．【解答】解：∵x∈（﹣∞，﹣1]，∴2x∈（0，]，不等式（3m﹣1）2x＜1恒成立，即3m﹣1＜恒成立，由2x∈（0，]，得∈[2，+∞）．∴3m﹣1＜2，即m＜1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故选：C．　二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知幂函数f（x）的图象过点（4，2），则=　　．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法求幂函数f（x）的解析式，再计算．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，其图象过点（4，2），∴4α=2α=，∴f（x）==；∴==．故选：．　14．已知函数f（x）=1+loga（2x﹣3）（a＞0且a≠0）恒过定点（m，n），则m+n=　3　．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．第17页（共17页） 【分析】由条件利用loga1+1=1为定值，求出n的值，可得2x﹣3=1，求得m的值，从而求得m+n的值．【解答】解：令2x﹣3=1，解得：x=2，故f（2）=1+0=1，故m=2，n=1，故m+n=3，故答案为：3．　15．计算=　﹣6　．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=÷+7×=﹣2×10+7×2=﹣6．故答案为：﹣6．　16．已知f（x）是R上的奇函数，当时x＞0，f（x）=4x﹣x2．若f（x）在区间[﹣4，t]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是　[2，2+2]　．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合以及一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解：如x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，∵函数f（x）是奇函数，第17页（共17页） ∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），则f（x）=4x+x2，x＜0，则函数f（x）=，则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4，当x=2时，f（x）=4，令f（x）=4x﹣x2=﹣4，解得x=2+2，（负值舍掉），若函数f（x）在区间[﹣4，t]上的值域为[﹣4，4]，则2≤t≤2+，即实数t的取值范围是[2，2+2]，故答案为：[2，2+2]．　三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设全集U=R，集合．（1）求A∪B，（∁UA）∩B；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，且B∪C=C，求a的取值范围．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（1）先求出B={x|x≥3}，由此能求出A∪B和（CUA）∩B．第17页（共17页） （2）求出，由B∪C=C，得B⊆C，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合．由得3x﹣7≥8﹣2x，∴x≥3，从而B={x|x≥3}，∴A∪B={x|2≤x＜4}∪{x|x≥3}={x|x≥2}，（CUA）∩B={x|x＜2x≥4}∩{x|x≥3}={x|x≥4}（2）集合C={x|2x+a＞0}，化简得，∵B∪C=C，∴B⊆C从而，解得a＞﹣6．∴a的取值范围是（﹣6，+∞）．　18．如图所示，定义域为（﹣∞，2]上的函数y=f（x）是由一条射线及抛物线的一部分组成．利用该图提供的信息解决下面几个问题．（1）求f（x）的解析式；（2）若x关于的方程f（x）=a有三个不同解，求a的取值范围；（3）若，求x的取值集合．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用待定系数法分段求出解析式；（2）求出f（），结合函数图象得出a的范围；（3）讨论x的范围，列方程解出x的值．【解答】解：（1）由图知当x≤0时，f（x）为一次函数，且过点（0，2）和（﹣2，0）设f（x）=kx+m（k≠0），则，第17页（共17页） 解得，∴f（x）=x+2．当x∈（0，2]时，f（x）是二次函数，且过点（1，0），（2，0），（0，3）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则，解得，∴f（x）=x2﹣x+3．综上，．（2）当0＜x≤2时，f（x）的最小值为f（）=﹣，∴当﹣＜a≤0时，f（x）=a有三解．（3）当x≤0时，令x+2=，解得x=﹣．当0＜x≤2时，令，解得或（舍去）．综上所述，x的取值集合是．　19．设函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|+3，x∈R．（1）王鹏同学认为，无论a取何值，f（x）都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若f（x）是偶函数，求a的值；（3）在（2）的情况下，画出y=f（x）的图象并指出其单调递增区间．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）若f（x）为奇函数，则有f（a）+f（﹣a）=0，根据方程无解，可得王鹏同学的看法正确；（2）若f（x）是偶函数，则有f（a）=f（﹣a），进而得到a的值；（3）在（2）的情况下，f（x）=x2﹣2|x|+3，进而可得函数图象和单调区间．【解答】解：（1）我同意王鹏同学的看法，理由如下f（a）=a2+3，f（﹣a）=a2﹣4|a|+3第17页（共17页） 若f（x）为奇函数，则有f（a）+f（﹣a）=0∴a2﹣2|a|+3=0显然a2﹣2|a|+3=0无解，所以f（x）不可能是奇函数（2）若f（x）为偶函数，则有f（a）=f（﹣a）∴2|a|=0从而a=0，此时f（x）=x2﹣2|x|+3，是偶函数．（3）由（2）知f（x）=x2﹣2|x|+3，其图象如图所示其单调递增区间是（﹣1，0）和（1，+∞）．　20．某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：月份1月2月3月数量（万件）11.21.3为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可选择二次函数y=px2+qx+r（p，q，r为常数，且p≠0）或函数y=abx+c（a，b，c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】分别求出两函数解析式，预算第四个月的产量，根据误差大小作出判断．【解答】解：若选择二次函数模型f（x）=px2+qx+r，则，第17页（共17页） 解得，∴f（x）=﹣0.05x2+0.35x+0.7，∴f（4）=1.3，若选择函数模型g（x）=abx+c，则，解得，∴g（x）=﹣0.8×0.5x+1.4∴g（4）=1.35显然g（4）更接近于1.37，故选用y=﹣0.8×0.5x+1.4作为模拟函数更好．　21．已知函数是（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）若实数t满足f（t﹣1）+f（t）＞0，求t的取值范围．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由f（0）=0，解得b的值，再根据，解得a的值，从而求得f（x）的解析式．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，作差判断f（x1）﹣f（x2）的符号，可得函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）由不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，可得f（t﹣1）＜f（﹣t），可得，由此求得t的范围．【解答】解：（1）由已知得解得第17页（共17页） ∴；（2）f（x）在（﹣1，1）上递增．理由如下：任取x1，x2∈（﹣1，1），且则x1＞x2，则=∵x1，x2∈（﹣1，1）∴1﹣x1x2＞0，又x1＞x2∴f（x1）﹣f（x2）＞0，从而f（x1）＞f（x2）即f（x）在（﹣1，1）上递增．（3）f（t﹣1）+f（t）＞0可化为f（t﹣1）＞﹣f（t）=f（﹣t），∴．　22．对于函数f（x），若存在一个实数a使得f（a+x）=f（a﹣x），我们就称y=f（x）关于直线x=a对称．已知f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+ex﹣1）．（1）证明f（x）关于x=1对称，并据此求：的值；（2）若f（x）只有一个零点，求m的值．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】（1）根据函数的解析式，求出f（1+x）的解析式，即可得到f（1+x）=f（1﹣x），问题得以证明，根据对称性即可求出答案．第17页（共17页） （2）由（1）知y=f（x）关于x=1对称，且f（x）只有一个零点，则这个零点一点就是x=1，代值计算即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+ex﹣1），∴f（1+x）=（1+x）2+2（1+x）+m（e﹣（1+x）+1+e1+x﹣1），=x2﹣1+m（e﹣x+ex），f（1﹣x）=（1﹣x）2+2（1﹣x）+m（e﹣（1﹣x）+1+e1﹣x﹣1），=x2﹣1+m（ex+e﹣x），从而有f（1+x）=f（1﹣x），即f（x）关于x=1对称，那么，∴=f（1）=2m﹣1；（2）由（1）知y=f（x）关于x=1对称，且f（x）只有一个零点，则这个零点一点就是x=1，∴f（1）=0，即2m﹣1=0，∴m=当时，x=1时，f（x）=0，x≠1时，f（x）＞0故时，只有一个零点，符合题意．　第17页（共17页）