数学专题复习---探索开放性问题

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1、初三数学专题复习---探索开放性问题　　知识要点：　　开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、策略开放与探索问题。　　对于条件开放与探索问题，要善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；　　对于结论开放与探索问题，包括相应的结论的“存在性”问题，解决这类问题的关键是充分利用条件进行大胆而合理的推理、猜想，发现规律，得出结论，主要考查发散性思维和所学基础知识的应用能力；　　策略开放与探索问题，一般是指解题方法不唯一，或解题路径不明确，解答这类题要注意不能墨守成规，要善于标新立异，积极发散

2、思维，优化解题方案和过程。　　注意：复习中要对各种题型进行针对性练习，优选各地中考试题，强化训练。善于类比、联想、转化等数学思想方法的应用，提高观察、分析、比较、归纳探究及发散思维、动手操作的能力。　　例题分析：　　1.若a、b是无理数且a+b=2，则a，b的值可以是_____.(填上一组满足条件的值即可)　　分析与解答：这是一个条件开放题，由于题中只有一个关系式，因此只要先确定，其中一个无理数的大小，另一个也随之确定，本题答案不唯一，如。　　2.如图：在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使

3、△ABC≌△DEF，需要补充的一个条件是_____.　　　　分析与解答：本题考查全等三角形的判定及分析问题能力和逻辑推理能力，已知一边一角对应相等，可以是SAS或ASA或AAS来证两个三角形全等。　　如：BC=EF(或∠A=∠D或∠C=∠F)　　3.已知两条抛物线y=x2+2x-3和y=2x2+x-3，请至少写出三条它们的共同特点：　　分析与解答：本题是结论开放性问题，考查二次函数的图象、性质及发散思维、归纳探索的能力，所以可以从两函数图象特征(开口方向，对称轴，顶点)及两函数图象交点与坐标轴交点等方面入

4、手。　　(1)开口方向都向上；　　(2)都过点(1，0)，(0，-3)；　　(3)对称轴都在y轴左侧；　　(4)都有最小值；　　(5)两函数图象的顶点都在第三象限等等。　　4.如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1，A2，A3，……，A10过10个点中任意三点为顶点，其能组成______个等腰直角三角形？　　　　分析与解答：本题考查正方形的性质，等腰直角三角形定义，轴对称性质，图形计数规律及分析，归纳，探索能力。由图形的轴对称性，先计算出以A1，A2，A5，A6，A9这五个点为直角顶点的等腰直角三角形的

5、个数，然后将结果乘以2即为所求等腰直角三角形的个数。　　解：∵以A1，A2，A5，A6，A9这五个点为直角顶点的等腰直角三角形有1+3+1+6+2=13(个)，由轴对称性可知，在整个图形中共有13×2=26个等腰直角三角形。　　5.如图，正△ABC内接于⊙O，P是上任一点，PA交BC于点E，则以下结论：(1)PA=PB+BC；(2)；(3)PA·PE=PB·PC；其中正确结论的序号______　　　　分析与解答：本题考查三角形和圆的有关性质，延长BP到F，使BF=PA，易证：△BCF≌△ACP，从而△PC

6、F是等边三角形，可证得结论(1)成立，则结论(2)不成立，再证：△PAB∽△PCE可知结论(3)成立，从而正确结论序号(1)，(3)　　6.在平面内确定四个点，连结每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间的线段长只有两个数值，如图　　　　图中相等线段有：AB=BC=CD=AD，AC=BD　　请你再画出满足题目条件的三个图形，并指出每个图形中相等的线段。　　分析与解答：本题是一道以方案设计为背景的开放性问题，考查等腰三角形定义及动手操作，分析问题及创新能力。从题目的条件和要求上，可以

7、从平面上的四点构成六条线段入手。分别设计五条、四条、三条、两条分别相等线段的情形。　　本题答案不唯一，如：　　　　其中(1)AB=BC=CD=AD=BD，AC=AC　　(2)AB=AC=AD=BD，BC=DC　　(3)AB=BC=AC，AD=BD=CD　　(4)AB=AD=CD，AC=BC=BD　　(5)AB=AC，AD=BC=BD=CD　　7.如图1，在△ABC中(AB>AC)，若直线AD平分∠BAC且与△ABC的外接圆相交于点E，交BC边于点D.　　　　(1)求证：AB·AC=AD·AE；　　(2)若

8、把题中的条件“直线AD平分∠BAC”改为“直线AD平分∠BAC的外角”，如图2，那么(1)中结论是否仍成立？请说明理由。　　分析与解答：本题是存在性问题，考查直线和圆的有关知识及推理探索能力。　　可以从已知条件出发，结合定义、定理，对AB·AC与AD·AE的关系进行推理：　　要证等积式，需证比例式四条线段所在三角形是否相似。　　(1)连结BE则∠E=∠C，又∠BAE=∠DAC，　　∴△ABE∽△ADC　　∴AB·AC=AD·A