复变函数积分方法总结

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1、复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iyi²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。argz=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isi

2、nθ。z=reiθ。1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1zk(k=1,2…n)上任取一点xk并作和式Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=k-1nf(xk)∆zk记∆zk=zk-zk-1，弧段zk-1zk的长度δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当δ→0时，不论对c的分发即xk的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z

3、)沿曲线C的积分为：cf(z)dz=limδ0k-1nf(xk)∆zk设C负方向(即B到A的积分记作)c-f(z)dz.当C为闭曲线时，f(z)的积分记作cf(z)dz(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)cdz2)c2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，cdz=0.∵f(z)=1Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=b-a∴limn0Sn=b-a,即1)cdz=b-a.(2)当C为闭曲线时，cdz=0.f(z)=2z;沿C连续，则积分czdz存在，设xk=zk-1,则∑1=k-1

4、nZ（k-1）(zk-zk-1)有可设xk=zk，则∑2=k-1nZ（k-1）(zk-zk-1)因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以Sn=(∑1+∑2)=∑k-1nzk(zk2-zk-12)=b2-a2∴c2zdz=b2-a21.2定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入cf(z)dz得：cf(z)dz=cudx-vdy+icvdx+udy再设z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)cf(z)dz=αβf(z(t))z(t)dt参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（

5、0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)例题1：03+iz2dz积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t03+iz2dz=01[(3+i)t]2[(3+i)t]'dt=(3+i)301t2dt=6+263i例题2：沿曲线y=x2计算01+i（x2+iy）dz解：参数方程x=ty=t2或z=t+it2(0≤t≤1)01+ix2+iydz=01（t2+it2）(1+2it)dt=(1+i)[01t2dtdt+2i01t3dt]=-16+56i1.3定义衍生2重要积分结果：z=z0+reiθ，(0≤θ

6、≤2π)由参数法可得：cdz(z-z0)n+1=02πireiθei（n+1）θrn+1dθ=irn01+ie-inθdθcdz(z-z0)n+1=2πin=00n≠0例题1：z=1dzz-2例题2：z=1dzz-12解：=0解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：cf(z)dz=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是

7、D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：Γf(z)dz=cf(z)dz+c1f(z)dz=0即cf(z)dz=c1f(z)dz推论：cf(z)dz=k=1nckf(z)dz例题：c2z-1z2-zdzC为包含0和1的正向简单曲线。解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。c2z-1z2-zdz=c12z-1z(1-z)dz+c22z-1z(1-z)dz=c11z-1+1zdz+c21z-1+1zdz=c11z-1dz+c11zdz

8、+c21z-1dz+c21zdz=0+2πi+2πi+0=4πi2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即cf(x)dx=z0z1f(x)dx这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分z0z