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1、正定二次型的习题课设计 摘要:本文给出一个教学实践效果良好的习题课设计。首先复习了正定二次型的相关概念和性质,然后列出了正定二次型的判定方法,并辅以例题加以说明。 关键词:正定二次型;正定矩阵;顺序主子式 在实二次型理论中,正定二次型占有特别重要的位置。为了帮助学生总结、巩固和提升所学知识,本文给出一个经过课堂教学实践,具有良好教学效果的习题课设计。 一、正定二次型相关概念和性质复习 首先,在较短时间内,带领学生梳理正定二次型的基本概念和相关性质、了解重点和难点,并澄清一些常犯的错误与疑惑。 1.定
2、义 设实二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,对于任意一组不全为零的实数c1,c2,…,cn有f(c1,c2,…,cn)>0,则称f为正定二次型,并称正定二次型的矩阵A为正定矩阵。 注:判断正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。 2.结论和性质 结论1.非退化线性替换不改变二次型的正定性。 性质1.若A为正定矩阵,则
3、A
4、>0,A可逆。4 性质2.与正定矩阵合同的实对称阵也是正定矩阵。 性质3.正定矩阵的主对角线上元素必全大于零。 性质4.正定矩阵的元素的绝对值最大者一定是主对角线上的元素。
5、 性质5.若A为正定矩阵,则
6、A
7、≤a11…ann,当且仅当A为对角阵时等号成立。 正定矩阵的这些性质可以用来判定某些实对称矩阵不是正定阵。例如:主对角元有非正数的对称阵必不是正定阵;只要有一个非对角元的绝对值不小于主对角元的最大者,则这个矩阵必不是正定阵;若对于n阶矩阵A有,
8、A
9、>a11…ann,则A必不是正定阵。 例1.判断二次型f=10x21+8x1x2+14x1x3+2x22-28x2x3+x23是否正定。 解:二次型f的矩阵 A=1041242-1412-141 显然A中元素绝对值最大者为
10、a
11、23
12、=
13、a32
14、=14不是对角元,因此f不是正定二次型。 性质6.若A为正定矩阵,则A-1,A*,Ak(k为正整数)也为正定矩阵。 性质7.若A与B均为正定矩阵,则A+B也为正定矩阵。 二、正定二次型(矩阵)的判别方法 首先,和学生一起总结判别正定二次型的常用方法和充分必要条件,然后,通过对典型例题的分析讲评,帮助学生梳理解题的思路、熟悉常用的方法和技巧,对一个具体的4问题到底该用哪种方法判断。另外,精选适量练习题,帮助学生更好地理解和掌握基本内容和基本解题方法,达到巩固、悟新与提高的目的。在题后要加以点
15、评,其目的在于帮助学生弄清重点、难点、知识结合点和应注意的问题。 1.定义判别法 例2.判断二次型f=x21-2x1x2-2x1x3+2x22+3x23是否正定。 法一:因为对任意的x1,x2,x3,恒有f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23≥0。令f=0,即x1-x2=0,x2-x3=0,x3=0,解得x1=0,x2=0,x3=0。所以可得:对于不全为零的x1,x2,x3,都有f>0,所以f是正定二次型。 2.标准形判别法 实二次型f=XTAX是正定二次型(或A是正定矩阵)?圳正惯性指数等于n
16、?圳f的规范形为■ni-1y2i?圳A与E合同,即存在可逆矩阵P,使A=PTP?圳A合同于主对角元大于零的对角矩阵?圳A的所有特征值全大于零。 对于同一个问题往往可以用不同的方法来判断,如例2中的二次型也可以用特征值或正惯性指数来判断。 法二:二次型f对应的矩阵为,A=1-10-12-10-13 其特征值为x1=2,x2=2+■,x3=2-■,显然都大于零,所以f是正定二次型。 法三:由于f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23,做变换 y1=x1-x2y2=x2-x3y3=x3 则二次型化为标
17、准形f=y21+y22+2y23,可以看到此二次型的正惯性指数为3,所以f是正定二次型。 3.主子式判别法4 实二次型f=XTAX是正定二次型A的所有顺序主子式全都大于零?圳A的所有主子式均大于零。 法四:由于A的各阶顺序主子式为
18、A1
19、=1>0,
20、A2
21、=1-1-12=1>0,
22、A
23、=1-10-1210-13=2>0 所以f是正定二次型。 参考文献: [1]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2011. [2]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京:高等教育出版社,2009.
24、4