函数与方程知识点总结

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1、函数与方程知识点总结1、函数零点的定义（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有

2、，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法①代数法：函数的零点的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）二次函数零点个数确定有2个零点有两个不等实根；有1个零点有两个相等实根；无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;3（2）用二分法求方程的近似解的步骤

3、:①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;(ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ)若,则令(此时零点);(ⅲ)若,则令(此时零点);④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.【经典例题】【例1】函数在区间内的零点个数是（B）A、0　B、1　　　C、2　　　D、3【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.【例2】函数　f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　B　)A、(－2，－1)　　　B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)【解析】∵f(

4、－1)＝2－1＋3×(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1)f(0)<0.∴　f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．【例3】下列函数中能用二分法求零点的是(　C　)3【例4】若函数(且)有两个零点，则实数的取值范围是.【解析】函数=(且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例5】函数，零点个数为（B）A、3B、2C、1D、0【例6】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(

5、1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（C）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5【例7】如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（C）A、B、C、D、【例8】方程根的个数为（D）A、无穷多Error!Nobookmarknamegiven.B、C、D、【例9】用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点，第二次应计算.以上横线上应填的内容为(A)A、（0，0.5），B、（0，1），C、（0.5，1），D、（0，0.

6、5），3反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．3