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1、第八章线性定常控制系统状态空间描述一概念二状态空间表达式的建立三状态空间表达式的求解四liapunov稳定性五线性系统的可控、可观性六线性系统的非优化综合1一、状态的基本概念(1)状态——能完全描述系统时域行为的一个最小变量组。①完全描述。是指当给定了该最小变量组在初始t=t0的值和t≥t0的输入函数u(t)，则系统在t≥t0的任何时刻的行为就被完全确定；②系统在t≥t0的状态与t0时刻以前的的状态和输入无关；③最小变量组。指一组反映系统运动特性的线性无关的变量。(2)状态变量——指构成系统状态的变量
2、xi(i=1…n)。注意：状态变量并非一定是系统的输出变量，也不一定是在物理上可测量的。在实际运用时，为了便于控制系统，通常选择容易测量或容易观测的量作为状态变量。2(3)状态向量——设系统的状态变量为x1(t),x2(t)…xn(t),则以它们为元所构成的向量称为状态向量，记为X(t)=[x1(t),x2(t)…xn(t)]T(4)状态空间——指以x1(t),x2(t)…xn(t)为坐标轴构成的n维正交空间。(5)状态轨线——系统的X(t)可用状态空间中的一个点来表示，则状态轨线表示系统的X(t)在
3、u(t)作用下，从X(t0)出发，在状态空间中描绘出的一条轨迹。3（6）被控过程和控制系统量测部件被控对象执行部件从动力学观点看，一个基于反馈建立起来的控制系统由被控过程和控制器两部分组成。控制器被控过程ymy1uru1u1ury1ymx1xn①状态空间描述考虑了“输入u－状态X－输出y”这一过程；②u引起X变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程；③X决定y是一个变换过程，表现为变换（量测）方程，是代数方程。被控过程由被控对象、量测部件和执行部件组成。4二、控制系统的状态空间表达式状
4、态空间表达式——描述系统u(t)、X(t)、Y(t)之间关系的状态方程和输出方程总合。构成了对系统动态行为的完整描述。式中,X(t)为n×1状态向量,X(t)=[x1(t),x2(t)…xn(t)]T；u(t)为r×1输入(控制)向量,u(t)=[u1(t),u2(t)…ur(t)]T；Y(t)为m×1输出向量,Y(t)=[y1(t),y2(t)…ym(t)]T；f为n×1函数阵,f=[f1(t),f2(t)…fn(t)]T；g为m×1函数阵,g=[g1(t),g2(t)…gm(t)]T.1.状态空间
5、表达式的一般形式52.线性定常系统对于单输入单输出系统其中，b=[b1,b2…bn]T，c=[c1,c2…cn]。d=[d]式中，6三、状态空间表达式的建立系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数，因此，一个n阶系统仅有n个状态变量可以选择。D∫ABCu(t)Y(t)X(t)获得状态空间表达式有三个途径：①根据物理化学机理用解析的方法建立；②根据传递函数或高阶微分方程演化求得；③由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。7(一)按系统的物理机理建立状态空间表达式(1)确定系统的状态变量、输
6、入变量、输出变量;(2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程;(3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系;(4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。2说明：①上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。②系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机来计算。1步骤：③状态变量的选择不是唯一的。例18(二)根据系统微分方程建立状态空间表达式1.输入函数中不含导数项若已知
7、及t＞0时的输入,则系统的行为就可唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)…xn=y(n-1)作为状态变量,则微分方程可表示为y=x19写成向量矩阵形式式中X=,A=,b=c=[100…0]∫∫∫∫b0-an-1-an-2-a1-a0x1yx2Xn-1xnu例210X的选择要使状态方程的右边不出现u的导数项。通常将输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出y和输入u的各阶导数的适当组合。讨论几种标准型。2.输入函数中含导数项1）能控标准形V(s)U(s)y(s)11可以引入中间变量v，
8、令u=v(n)+an-1v(n-1)+…+a1v(1)+a0vy=bnv(n)+bn-1v(n-1)+…+b1v(1)+b0v得当bn=0时….例3122）能观测标准形可见：例4133）对角线标准形设令….14[例]已知系统的G(s)=1/(s3+6s2+11s+6),试求状态式。解:∫－11/2－1∫1/2－2∫－3ux3x2x1y154）Jordan标准形则选择状态变量设-λ1为r重，其余为单极点16约当块对角线阵得例517(三)系统方框图－模拟结构
