直线与圆的位置关系——切线长定理

直线与圆的位置关系——切线长定理

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时间:2018-11-18

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1、24.2.2(3)直线与圆的位置关系(三)切线长定理50°1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线?2、这样的切线能画出几条?如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是⊙O的切线。3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数130°画一画O。ABP课外补充思考:已画出切线PA、PB,A、B为切点,则∠OAP=°,连接OP,可知A、B除了在⊙O上,还在怎样的圆上?90如何用圆规和直尺作出这两条切线呢?尺规作图:过⊙O外一点作⊙O的切线O·PABO请跟我做在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长·OPAB切线与切线长是一回事吗?它们有什

2、么区别与联系呢?切线长概念··切线和切线长是两个不同的概念:1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量;2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量。切线和切线长OPAB比一比OABP思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?12折一折请证明你所发现的结论。APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点∴OA⊥PA,OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB,OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述

3、你所发现的结论证一证PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言:反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB切线长定理APOB若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABM试一试APO。B若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给

4、出证明.CA=CB证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC。PBAO(3)连结圆心和圆外一点(2)连结两切点(1)分别连结圆心和切点反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。想一想(2)已知OA=3cm,OP=6cm,则∠APB=PABCO60°(4)OP交⊙O于M,则,ABOPAM=BM⌒⌒M⊥牛刀小试(3)若∠P=70°,则∠AOB=°110(1)若PA=4、PM=2,求圆O的半径OAOA=3已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,Q

5、为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12CM,求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm牛刀再试探究:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。BAPOCED(1)写出图中所有的垂直关系OA⊥PA,OB⊥PBAB⊥OP(3)写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP(4)写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB(2)写出图中与∠OAC相等

6、的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC例1、已知:P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B为切点,BC是直径。求证:AC∥OPPACBDO例题讲解例1、已知:P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B为切点,BC是直径。求证:AC∥OPPACBO例题讲解练习1.(口答)如图所示PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线分别相交于C、D,已知PA=7cm,(1)求△PCD的周长.(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C·OPBDAE例3、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P,求证:AD+BC

7、=AB+CDDLMNABCOP证明:由切线长定理得∴AL=AP,LB=MB,NC=MC,DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等.例4.如图,△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F,且BD=12,AD=8,求⊙O的半径r.OEBDCAF练习2.如图,AB是⊙O的直径,AD、DC、BC是切线,点A、E、B为切点,(1)求证:OD⊥OC(2)若BC=9,AD=4,求OB的长.OABCDE·OABCDEFOABCDE选做题:如图,AB是

8、⊙O的直径,AD、DC、BC是切线,点A、E、B为切点,若BC=9,AD=4,求OE的长.1.切线长定理从圆

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