含参变量的积分

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1、第三节一、含参变量的有限积分二、含参变量的无穷积分含参变量的积分第十二章一、含参变量的有限积分上的连续函数,则积分记作u称为参变量,上式称为含参变量的有限积分.含参变量积分的性质定理1.(连续性)上连续,则函数—连续性,可积性,可微性:确定了一个定义在上的函数,在区间也连续.证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有有这说明定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,上连续,则含参变量的积分定理2.(可积性)上连续,推论:在闭矩形域上连续函数f(x,y),其累次积分可交换即定理2表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同变数的积

2、分(简称累次积分)可交换积分次序.求积顺序,定理3.(可微性)都在矩形证:令函数,因上式左边的变上限积分可导,右边有被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,导数与积分运算是可以交换次序的.定理3说明,变量外,积分上、下限也含有参变量，即但对应唯一一个积分（值）则它仍是区间的函数，设.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参下面给出函数在区间的可微性.定理4.都在矩形域而函数与在区间可导，，有则函数在区间可导，且求函数的导数(y>0).例1.解：，暂时固定，，使显然，被积函数与在矩形域都连续，根据定理2，有例2.解:由被积函数的特点想到积分:例3.解:考虑含参变量t的积分所

3、确定的函数显然,由于故因此得例4.解:例5.分小时,函数的n阶导数存在,且证:令在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得即同理于是二.含参变量的无穷积分1.含参变量的无穷积分的定义设二元函数f(x,u)在区域有定义。无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分（值）.于是，是区间的函数，表为称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u是参变量.2.含参变量无穷积分一致收敛的定义设，无穷积分收敛.若有则称无穷积分在区间I一致收敛。证明：无穷积分在区间[a,b](a>0)例6.一致收敛.证明:设A>0,无穷积分(u看作常数)已知a≤u≤b,有使不等式成立，解得取于是，有即无穷积分

4、在区间[a,b](a>0)一致收敛.3.含参变量无穷积分一致收敛的判别法定理5(柯西一致收敛准则）无穷积分在区间I一致收敛,有定理6(优函数判别法)若有,且无穷积分收敛，则无穷积分在区间I一致收敛.例7.证明:无穷积分在区间一致收敛(a>0).证明：有因为无穷积分收敛,所以无穷积分从而无穷积分收敛，也收敛,根据定理6,则无穷积分在区间一致收敛(a>0).例8.证明无穷积分在R一致收敛.证明：，有.而无穷积分收敛,则无穷积分在R一致收敛.说明:虽然用定理6判别某些无穷积分一致收敛很简便,但此定理的应用局限在无穷积分必是绝对收敛,若无穷积分是一致收敛,同时又是条件收敛,则不能用定

5、理6来判别.定理7.若函数f(x,u)在区间，连续且在D有界,即,有无穷积分在区间I一致收敛.即:4.含参变量无穷积分的性质定理8(连续性)★注意:定理9(可积性)即(积分次序可交换)可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即定理10(可微性)即注意:例9.证明：证明:已知有而无穷积分收敛.根据定理6，无穷积分在区间一致收敛，根据定理9，交换积分次序，有