初中几何最值问题

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时间:2018-11-23

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1、初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例1】在锐角中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.【巩固】以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.如图,若BO=,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段

2、PN长度的最小值为_______,最大值为_______.备用图【例1】如图,°,矩形ABCD的顶点A.B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为__________【巩固】已知:中,,中,,.连接、,点、、分别为、、的中点.若、、三点在同一直线上,且,固定,将绕点旋转,则的最大值为____________【巩固】在平面直角坐标系xOy中,点、分别在轴、轴的正半轴上,点为线段的中点.点、分别在轴、轴的负半轴

3、上,且.以为边在第三象限内作正方形,请求出线段长度的最大值,并直接写出此时直线所对应的函数的解析式.图2【例1】如图,已知,为反比例函数图像上的两点,动点在正半轴上运动,当线段与线段之差达到最大时,点的坐标是_________yxOABP2、轴对称【例1】求的最小值【例2】是半径为5的的两条弦,,,为直径,于点,于点,为上任意一点,则的最小值为_________【巩固】设半径为1的半圆的圆心为,直径为,是半圆上两点,若弧的度数为96°,弧的度数为36°,动点在直径上,则的最小值是_______【巩固】设正三角形的边长

4、是2,是边上的中点,是边上任意一点,则的最大值为_______,最小值为________【例1】如图,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为.若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则的取值范围是.【例2】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=—x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;(2)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.图1【例3

5、】如图,直线分别交x轴、y轴于C、A两点,将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN,D为AM上的动点,B为AN上的动点,点C在∠MAN的内部.(1)当AM∥x轴,且四边形ABCD为梯形时,求的面积;(2)求△BCD周长的最小值;(3)当△BCD的周长取得最小值,且时,求的面积.Axy1OD212MNB34CAxy1O21234C备用图Axy1O21234C备用图【例1】在直角坐标系中,,,,为四边形的4个顶点,当四边形的周长最短时,_________【巩固】如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(

6、1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0)。(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上师范存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由。图13ABxyODC图2ABxyODCPQEFABxyODC【例1】已知,如图1,二次函数的图像的顶点为,与轴交于两点(在的右侧),点关于直线:对称.(1)求两点

7、的坐标,并证明点在直线上;(2)求二次函数的解析式;(3)过点作交直线于点,分别为直线和直线上的两个动点,连结求的最小值.【巩固】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于(-1,0)、(3,0)两点,顶点为.(1)求此二次函数解析式;(2)点为点关于x轴的对称点,过点作直线:交BD于点E,过点作直线∥交直线于点.问:在四边形ABKD的内部是否存在点P,使得它到四边形ABKD四边的距离都相等,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若、分别为直线和直线上的两个动点,连结、、

8、,求和的最小值.【例1】在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.温馨提示:如图,可以作点D关于轴的对称点,连接与轴交于点E,此时△的周长是最小的.这样,你只需求出的长,就可以确定点的坐标了.(Ⅰ)若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;yBODCAxEyBODCAx(Ⅱ)若、

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