初中几何最值问题

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1、初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例1】在锐角中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．如图，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．备用图【例1】如图，

2、°，矩形ABCD的顶点A．B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__________【巩固】已知：中，，中，,.连接、，点、、分别为、、的中点.若、、三点在同一直线上，且，固定，将绕点旋转，则的最大值为____________【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点、分别在轴、轴的正半轴上，点为线段的中点．点、分别在轴、轴的负半轴上，且．以为边在第三象限内作正方形，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式．图2【例1】如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在

3、正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是_________yxOABP2、轴对称【例1】求的最小值【例2】是半径为5的的两条弦，，，为直径，于点,于点，为上任意一点，则的最小值为_________【巩固】设半径为1的半圆的圆心为，直径为,是半圆上两点，若弧的度数为96°，弧的度数为36°，动点在直径上，则的最小值是_______【巩固】设正三角形的边长是2，是边上的中点，是边上任意一点，则的最大值为_______,最小值为________【例1】如图，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为.若D、E、F分别

4、是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是.【例2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—x2＋2x＋3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1【例3】如图，直线分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求的面积；（2）求△BCD周长的最小值；（3）当△BCD的周长取得最小值，且时，求的面积．Axy1OD212MNB34C

5、Axy1O21234C备用图Axy1O21234C备用图【例1】在直角坐标系中，，，，为四边形的4个顶点，当四边形的周长最短时，_________【巩固】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。图13ABxyODC图2ABx

6、yODCPQEFABxyODC【例1】已知，如图1，二次函数的图像的顶点为，与轴交于两点（在的右侧），点关于直线：对称．（1）求两点的坐标，并证明点在直线上；（2）求二次函数的解析式；（3）过点作交直线于点，分别为直线和直线上的两个动点，连结求的最小值．【巩固】如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点,顶点为.(1)求此二次函数解析式；(2)点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2

7、）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.【例1】在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；yBODCAxEyBODCAx（Ⅱ）若、