离散傅里叶变换

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1、第三章DFT离散傅里叶变换一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。引言傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换---傅氏变换0t0时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。二.连续时间、离散频率傅里叶变换---傅氏级数0t------0时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的*时域周期为Tp,频域谱线间隔为2π/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换---序列的傅氏变换x(nT)T-T0T2Tt0------

2、时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFTx(nT)=x(n)t0T2T12Nn00123kNT由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的§3-1周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入对上式进行抽样，得：导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：因是离散的，所以应是周期的。，代入而且，其周期为，因此应是N点的周期序列。又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。二.

3、的k次谐波系数的求法1.预备知识同样，当时，p也为任意整数，则所以亦即的表达式将式的两端乘，然后从n=0到N-1求和，则：的DFS通常将定标因子1/N移到表示式中。即：3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号代入，则：正变换：反变换：4.的周期性与用Z变换的求法周期性：的一个周期内序列记作,而且=,0nN-10,其他n对作Z变换，用Z变换求：可见，是Z变换在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。如果，则有1234567(N-1)k=0其中，a,b为任意常数。§3-1-2DFS的性质一.线性如果则有二.序列的移位则有：如果证明：令i=m+n,则n=i-m

4、。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以*和都是以N为周期的周期函数。三.调制特性如果则有证明：时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。四.周期卷积和1.如果则：证明从略。2.两个周期序列的周期卷积过程（1）画出和的图形；（2）将翻摺,得到可计算出：m计算区mm0123（3）将右移一位、得到可计算出：m计算区mm0123m（4）将再右移一位、得到可计算出：（5）以此类推，n1344计算区313.频域卷积定理如果，则证明从略。§3-2DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识1.余数运算表达式如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为mN，余数。例如：(1

5、)(2)先取模值，后进行函数运算;而视作将周期延拓。2.二.有限长序列x(n)和周期序列的关系=,0nN-10,其他n周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。如：N-1nx(n)0......n0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。三.周期序列与有限长序列X(k)的关系同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。四.从DFS到DFT从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT

6、)的定义:,0kN-1,0nN-1或者：练习题参考答案实际选择解§3-2-2DFT的性质一.线性性1.两序列都是N点时如果则有：2.和的长度N1和N2不等时，选择为变换长度,短者进进行补零达到N点。二.序列的圆周移位1.定义一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移

7、位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。12345n=0N=6四.圆周卷积和1.时域卷积定理设和均为长度为N的有限长序列，且，如果，则NN证明：相当于将作周期卷积和后，再取主值序列。将周期延拓：则有：在主值区间，所以：N同样可证：N2.时域圆周卷积过程N-10nN-10n0m0m0m0m0233211N-1nN最后结果：五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是