矩阵论课后习题答案

《矩阵论课后习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章线性空间与线性映射习题一(43-45)1、（1）对于，；（2）对于，，，即。（3）对于和，显然；（4）对于，令，则，即。（5）对于和，有（6）对于和，有，32，即。（7）对于和，有，（8）对于，有。综上所述，V在R上构成线性空间。2、对于和，因为，，所以，，从而由第1.2节定理1可知，是的子空间。因为对，，即，所以由第1.4节的定理3可知，。3、对于和，满足，，并且，，即32，，从而由第1.2节定理1可知，V是的子空间。4、对于和，满足，，并且，，从而由第1.2节定理1可知，V是的子空间。，并且V的一

2、组基为，和。5、对于和，满足，，并且，，从而由第1.2节定理1可知，V是的子空间。，并且V的一组基为，其中，其它元素为0。6、[解]由，可得由，可得。327、由二项式定理，，所以在下的坐标为。8、由和可得和。对于，存在常数和，使得，故。对于，存在常数和，使得，故。综上所述，有。9、因为，从而。上面的过程可以得到，所以。则由第4节定理1可知，，并且是它的一组基（并不唯一）。再由子空间维数定理可得，，并且基为。10、设是的一组基，则因为，所以。32再由可知，是的一组基，从而。即得。11、？12、对于，存在常数，

3、使得，从而。13、设所求矩阵为A，从到的转换矩阵为P，则，从而。由，可得，又由，可得，即。14、若取一组常数，使得，则作用线性变换T，次，得到，因为，所以。作用线性变换T次，得到，因为，所以。依次类推，得到，所以是W的基。因为，32所以矩阵为。15、设和是A分别对应于不同特征值和的特征子空间。对，它满足与，从而，即。因为，所以，从而，从而得证。16、对任意A的特征子空间，，满足。从而，即，从而得证。17、对于，则且，从而，，即，得到。对于，则且，从而，，即，得到。综上所述，。18、对于，则存在，使得，从而。

4、19、显然，即，并且，，，所以，即。第二章内积空间习题二（71-73）1、由题意可知，，所以对于，，有（1）；32（2）；（3）；（4）。因为，所以综上可知，V是酉空间。2、，从而，。对于，由，得，可得的基为，，从而。对进行Schmidt正交化，可得，。对进行单位化，即得的标准正交基；32。3、由于为的标准正交基，则由第2.2节定理2可知，内积在这组基下的矩阵为。又由，可得再由第2.1节定理4可知，。4、设为n维欧氏空间V的一组标准正交基，线性变换T在这组基下的矩阵为A，即。（1）若T为对称变换，即对于，，

5、有，即，由于是一个常数，所以，即A为对称阵。（2）若T为反对称变换，即对于，，有，即，由于是一个常数，所以，即A为反对称阵。5、由，可得。又因为线性无关，所以它们是W的一组基，对进行Schmidt正交化，得到：32；。对进行单位化，即得W的标准正交基；。令，则，，即，解得，，从而。6、显然，。对，有，，，，则，从而为到的正交投影。7、由为酉矩阵，则，而，从而，32。即，，则，。从而，，A，B为酉矩阵，。8、（1），有，从而，所以，即。，有，从而，即，，所以。综上所述，。（2），则，使得。令，则，使得，即，从

6、而。对，则，使得，令，则，，即。综上所述，。（3）显然。由及（2）可知，和，从而得证。9、（1），即为幂等阵。，所以与P可交换。（2）对，，使得，则，所以，即。对，则，有，所以，即。32综上所述，。（3）设为P的特征值，x为对应的特征向量，则，从而，再由，得到，即，从而或。（4）由和第2.4节定理4可知，P为酉空间到上的正交投影，而，所以。（5）若，则；若，则，使得，从而。第三章矩阵的对角化、若当标准型习题三（106-108）1、由第3.1节的司楚尔（Schur）引理可知，，使得，其中R是以A的特征值为对角

7、线元素的上三角阵，则，所以。2、由可得特征值为（二重），。由，得到。由，得到。从而由第3.1节定理5可知，A可对角化。对于，得到对应的特征向量为和。对于，得到对应的特征向量为。从而相似变换矩阵32。。3、因为，所以与的特征多项式相同，从而得证。4、因为，则，从而A为正规阵，由第3.1节的推论6可知，若为A的特征值，则为的特征值，设x为其对应的特征向量，则，即。因为，所以，从而为纯虚数。5、充分性：由可知，A为埃尔米特阵，故由第3.1节定理6可知，，使得，其中是以A的特征值为对角线元素的对角矩阵。又由可得，，

8、从而A的特征值只能为0或1。又因为，所以不妨取前r个特征值为1，从而得证。必要性：若，使得，则，，，从而。6、因为A正定，所以，。特别地，依次取x为第i个元素为1，其他元素为0的n个单位向量，则得。7、由可知，与异号，即A非正定。又由32则存在可逆矩阵C，使得，令，Y是第1个和第个元素为1，其他元素为0（r为矩阵A的秩，p为正惯性指数）的向量，则。8、因为矩阵A正定，所以可逆，并且也正定。设为的一个特征值，x为其