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《线性方程组的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性方程组的应用例1已知三次曲线过4个点,试求方程的系数解将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到非齐次线性方程组这个关于的方程组的系数行列式D是Vandermonde行列式，即根据Cramer法则，它有唯一解，其中是以替代D中第j列元素所得的行列式.例2（Fibonacci数列）数列F1,F2,…,Fn,…满足条件F1=F2=1;Fn=Fn-1+Fn-2（对所有的正整数n≥3）求这个数列的通项公式.（这个数列称为Fibonacci数列.）解对任一固定正整数n≥3，将任一n项数列α=(a1,a2,…,an)看作复数域C上n维数组空
2、间Cn上的向量.记V为Cn中满足递推关系ai=ai-1+ai-2(3≤i≤n)的向量(a1,a2,…,an)的全体所组成的子集，则Fibonacci数列的前n项组成的向量φ=(F1,F2,…,Fn)含于V.易验证V对向量的加法以及向量与复数的乘法两种运算封闭，是Cn的子空间.并且,V中每个α=(a1,a2,…,an)由前两项a1,a2决定,可以记为α=f(a1,a2).特别Fibonacci数列φ=f(1,1).映射f：C2→V，(a1,a2)f(a1,a2)是复线性空间之间的同构映射.由dimC2=2知道dimV=2.只要找到C2
3、的任意一组基{X1,X2},则{f(X1),f(X2)}是V的一组基.考虑V中包含哪些首项为1的n项等比数列β=（1,q,q2,…,qn-1）.βV的充分必要条件是ai=ai-1+ai-2即qi-1=qi-2+qi-3,3≤i≤n也就是q2=q+1，即q2-q-1=0，解之得q=.记q1=,q2=,则f(1,q1)，f(1,q2)是V中所有的两个等比数列.由于q1≠q2，(1,q1)，(1,q2)组成C2的一组基，f(1,q1)，f(1,q2)组成V的一组基.我们来求Fibonacci数列φ=f(1,1)在这组基下的坐标（x,y），
4、即求x,y使f(1,1)=xf(1,q1)+yf(1,q2)=f(x+y,q1x+q2y),即，解之得从而由于，，，又.因此.一般地，对任意复数b，c，满足条件an=ban-1+can-2(n≥3)的数列{an}组成复数域C上的线性空间V.V中每个{an}由前两项a1，a2决定，可以记为f(a1,a2).f：C2→V是复数域C上线性空间的同构映射，因此dimV=dimC2=2.公比为q的等比数列含于.如果方程有两个不相等的复数根q1，q2，则f(1,q1)，f(1,q2)组成V的一组基.可以采用此例题的方法，通过解方程组求出f(a1
5、,a2)在基{f(1,q1)，f(1,q2)}下的坐标(x,y)，从而求得{an}=f(a1,a2)的通项公式例3设实数a，b，c不全为0，α，β，γ为任意实数，且求证：证明已知将上式看成以（a，b，c）为未知数的齐次线性方程组.此方程组有非零解.因此系数行列式为0，即将上边的行列式展开并整理，即得例4（物资调运问题）有三个生产同一产品的工厂，和，其年产量分别为40（吨），20（吨），10（吨），该产品每年有两个用户和，其用量分别为45（吨），25（吨），由各产地到各用户的距离（公里）如下表所示（）.各厂的产品如何调配才能使运费最少
6、？455892587236为了解决这个问题，我们假设各厂调运到各户的产品数量分别如下表所示那么，容易看出，三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以对产地来说产品应全部调出，因之有同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的，因之又有从到就是…，应满足的一些条件.我们再来看如何刻画运费,我们知道,在道路情况相同的情况下运费与距离成正比,因此把(吨)的货物由运到的运费为45的倍数,而把(吨)的货物由运到的运费为58的同一倍数,因此,它们的和s=45+58+92+58+72+36(6)就可以用来刻画运费.
