大数定理与正态分布

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1、第十一讲大数定理与正态分布本次课讲授第四章第1---5节，正态分布，中心极限定理；下次课讲授第四章第5节，第五章第1---4节;数理统计基础知识；下次上课时交作业P41---42页；重点：正态分布的概率、期望与方差；难点：正态分布的概率、期望与方差；1.协方差:covariance协方差(相关矩):（1）均值性质定理：2.协方差性质一、回顾：协方差与相关系数第十一讲大数定理与正态分布（2）独立性质定理：设随机变量X与Y相互独立，则：(3)方差性质定理：设X与Y是任意两个随机变量,则：3.相关系数（1

2、）定义：X与Y的相关系数:第十一讲大数定理与正态分布（2）相关系数的计算:并且(4)强相关定理(5)不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论第十一讲大数定理与正态分布11-1-1将一枚硬币重复掷n次，X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于解选(A).(A)-1(B)0(C)0.5(D)1.（2001年）例题11-1-2（2000，3分）第十一讲大数定理与正态分布二、切比雪夫定理1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某

3、年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？2.切比雪夫定理（不等式）：第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布例题11-2-1(2001，数一）设独立随机变量并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任何正数，恒有定理2（切比雪夫大数定理）分别有数学期望及方差D(X1),一常数K，使得第十一讲大数定理与正态分布证第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布3.依概率收敛定义推论：存在:设独立随机变量服从

4、同一分布,期望及方差则对于任何正数，有第十一讲大数定理与正态分布在独立试验序列中,设事件A的概率P(A)=p，定理3(伯努利定理）按概率收敛于事件A的概率p.即对于任何正数则事件A在n次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数,有证设随机变量Xi表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…),则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布，且有数学期望与方差：由切比雪夫定理的推论即得而就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知第十一讲大数定理与正态分布三、正态分布的密度与分布1.

5、背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。2.正态分布的密度第十一讲大数定理与正态分布记作1.定义其中及＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。设连续型随机变量X的概率密度为第十一讲大数定理与正态分布特别地，当时，正态分布叫做标准正态分布。其概率密度为2.正态分布的密度

6、曲线若固定μ=0第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布3.正态密度函数的性质第十一讲大数定理与正态分布0.54.正态变量的分布函数第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布11-3-1求解若,求X落在区间内的概率，其中例题11-3-2第十一讲大数定理与正态分布解查表得第十一讲大数定理与正态分布拐点拐点随机变量X落在之外的概率小于3‰。通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性原理，我们常把区间看作是随机变量X的实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3σ法则）

7、。第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布例题11-3-3（2010，4分）第十一讲大数定理与正态分布四、正态分布的数字特征1.数学期望第十一讲大数定理与正态分布2.方差3.中心矩第十一讲大数定理与正态分布若k为偶数，若k为奇数，奇函数对称积分则：第十一讲大数定理与正态分布例题11-4-1(87,数学一）第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布例题11-4-2（2009，4分）二维随机变量(X,Y)的正态分布概率密度表示如下：其中，参数及分别是随机变量X及Y的数学期望，及分别

8、是它们的标准差，参数参数r是它们的相关系数。五、二维正态分布1.二维正态分布的密度2.二维正态分布的边缘密度根据二维分布密度函数定义第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布3.二维正态分布的数字特征如果随机变量X与Y独立,并且都服从正态分布,则第十一讲大数定理与正态分布反之,若设r=0,则得第十一讲大数定理与正态分布第十一讲大数定理与正态分布例题11-5-1（2007，4分）四、正态变量的线性函数的分布1.Y=a+bX的分布定理1第十一讲大数定理与正态分布