用法向量求二面角时法向量方向的判断.doc

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1、用法向量求二面角时法向量方向的判断贺年成摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向关键词：法向量二面角方向判断借助法向量求二面角的平面角时，二面角的平面角的大小与法向量的所成角（）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时，（图1）；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部时，（图2）。对于法向量的方向的判断一直是个难点，其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点就可以判断法向量的方向，具体方法如下：面ABC与空间直角坐标系的坐标轴分别交于A,B,C三点,不妨设A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,),坐标原点O在面ABC上的射影为D点

2、,容易证明：是锐角三角形，而且D点为的垂心容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为锐角三角形，锐角三角形的垂心在三角形的内部。,也就可以知道D点在的内部，设D（x,y,z）,也即向量=（x,y,z），则知x，y，z分别与，，同号，此时取平面ABC的一个法向量=（），若与向量的对应的一个坐标同号，则另外两个也必然对应同号，也即与，，对应同号，这样，只要与对应的，，有一个同号，则可知与同向，从而可进一步判断出的方向为指向平面ABC异于原点O的一侧，否则就指向原点所在的那一侧，这样一来我们可以很容易地判断法向量到底指向二面角的

3、内部还是外部。若二面角的一个半平面过坐标原点，则可以通过平移半平面，让坐标原点置于二面角的内部或外部，再用上面的方法判断。例.如右图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E，F分别是PC,PD的中点，（1）求二面角F—BE—C的大小，（2）求二面角D—BE—C的大小。解析：（1）以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，依题意有P（0，0，2），F（0，0，1），E（0，1，1），B（2，2，0），C（0，2，0），=（-2，-1，1），

4、=（0，1，0），=（0，1，-1），=（0，1，1），设=（）,=（）,=（）分别为平面BEF，平面BEC，平面BDE的法向量，可取平面BEF的一个法向量=（-1，0，-2），可取平面BEC的一个法向量=（0，1，1），坐标原点D在二面角的内部，平面BEF与Z轴交于F点，F点的竖坐标与的竖坐标符号相异，可知的方向指向坐标原点D所在的一侧，也即指向二面角的内部，同理，平面BEC与Y轴交于C点，C点的纵坐标与的纵坐标符号相同，可知的方向指向异于坐标原点D所在的一侧，也即指向二面角的外部，由此可知，向量与所成的角就是二面角的平面角，==,故二面角的平面角为。（2）可

5、取平面BDE的一个法向量=（1，-1，1），而此时坐标原点在D在平面上，可以把平面BDE沿着竖轴正方向移动到，使坐标原点在二面角的内部，此时的竖坐标和的竖坐标相同，故指向异于原点的另一侧，也即指向二面角的外部，由此可知，向量与所成的角是是二面角的补角，=0，故二面角的平面角为。