《频率与概率 》ppt课件

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1、第二节频率与概率一.频率的定义与性质描述一个随机事件发生的频繁程度1.定义1.2.1在相同的条件下，进行了n次重复试验，记nA是A发生的次数(又称为频数)；则定义随机事件A发生的频率为fn(A)=——。nAn2.频率的性质(1)(非负有界)0≤fn(A)≤1;(2)(规范性)fn(S)=1;(3)(有限可加)如果A1，A2，···，Am两两互不相容，则有：fn(A1＋A2＋···＋Am)=fn(A1)＋fn(A2)＋···＋fn(Am)(1)频率具有随机波动性，即对于同一个随机事件来说，在相同的试验次数下，得到的频率也不一定会相同。(2)频率还具有稳定性，它总是在某一个具体数值附近波动，而随

2、着试验次数的不断增加，频率的波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。大量的随机试验表明：频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性，称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也无法去定义它们的频率。3.概率的频率定义自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率的极限来作为概率的定义。例如下面的一些情况，必须看成是随机事件：1.公司认为明年的利润将增长10%。2.期末考试时，概率课成绩合格。3.我这次买的一张足球彩票将获得一等奖。Remark(1)有些现象被看成是随机

3、的，原因是对它们的研究超出了人类目前的能力。比如：“宇宙中存在着地外文明”可以被认为是随机事件。(2)注意下面两个事件的区别：“某人的手机在何时将会接到一个呼叫”与“现在打来电话的是朋友还是陌生人”。思考.分析苏轼《水调歌头·中秋》中一句：人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，这种概率称为主观概率，表示对某事件发生与否的相信程度。它适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概率描述，而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。批评：如果概率是人的主观信念的数量度量，那么概率论就很象心理学的一个分支，而对概率进行纯主观的解释最终将导致唯心论。辩解：客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事件，决策人通过主观概

4、率把自己的以数据、分析和经验为依据的判断表示为数量形式，就可以利用概率的整套数学理论和工具得到结论，这些结论对决策往住非常有用。随机事件A的概率，它的实际意义就是：这个事件在一次试验中发生的可能性大小。二.概率的数学定义1.定义1.2.2S是随机试验E的样本空间，如果对于每一个随机事件A定义一个实数P(A)，满足：(1)(非负性)对任意的随机事件A，有P(A)≥0；(2)(规范性)对必然事件S，有P(S)=1；(3)(可列可加)对于任意一列两两不相容的随机事件A1，A2，···，则有：P(A1＋A2＋···)=P(A1)＋P(A2)＋···则这个集合函数P(A)就称为随机事件A的概率。(1)

5、不可能事件的概率为零：P()=0；(2)有限可加性：对于任意有限个两两不相容的随机事件A1，···，Am，则有：P(A1＋···＋Am)=P(A1)＋···＋P(Am)；(3)概率具有单调性：如果AB，则P(A)≤P(B)；(4)随机事件的概率不超过1：P(A)≤1。2.概率的基本性质证明.利用概率定义中的可列可加以及非负性等。三.概率的几个重要公式1.对立事件的概率，P()=1–P(A)。2.减法公式，P(B–A)=P(B)–P(AB)。特别的当AB，则P(B–A)=P(B)–P(A)3.加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)。推论：P(A∪B)≤P(A)+P(B)阅

6、读材料一般的加法公式对于任意的n个随机事件A1，A2，···，An，有P(A1∪A2∪···∪An)=练习1.2.1利用概率的加法公式证明：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(BC)–P(AC)+P(ABC)例1.2.2假定“B发生而A不发生”的概率是0.2，计算“A发生或者B不发生”的概率。解.转化成符号表示，即已知P(B–A)=0.2，需要计算的是概率：解法1.利用对立事件的概率公式解法2.利用概率的加法公式□例1.2.3假定P(A)=0.3，P(B)=0.5，分别计算(1)A、B不相容；(2)AB；(3)P(A∪B)=0.7时概率P(B–A)的值。解。分析

7、：由减法公式，P(B–A)=P(B)–P(AB)只需要计算出概率P(AB)。(1)A、B互不相容即AB=，得到P(B–A)=0.5；(2)AB等价于AB=A，得到P(B–A)=0.2；(3)利用加法公式的另一形式：P(A∪B)=P(A)+P(B–A)，得到P(B–A)=0.4。□例1.2.4假定P(A)=0.6，P(B)=0.7，(1)什么情况下P(AB)最大？最大值是多少？(2)什么情况下P(AB)最小