常微分方程的matlab求解

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1、第14章常微分方程的MATLAB求解编者Outline14.1微分方程的基本概念14.2几种常用微分方程类型14.3高阶线性微分方程14.4一阶微分方程初值问题的数值解14.5一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解14.6边值问题的数值解14.1微分方程的基本概念微分方程：一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶微分方程的解：找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒

2、等式。这个函数就叫做微分方程的解。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。初始条件：设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是时，或写成其中都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是其中和都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。求微分方程满足初始条件的特解是这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作微分方程的解的图形是一条

3、曲线，叫做微分方程的积分曲线。14.2几种常用微分方程类型1.可分离变量的微分方程一般的，如果一个一阶微分方程能写成的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。2.齐次方程如果一阶微分方程可化成的形式，那么就称这方程为齐次方程。3.一阶线性微分方程线性方程：方程叫做一阶线性微分方程因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果，则上述方程称为齐次的；如果，则上述方程称为非齐次的。为了求出非齐次线性方程的解，我们先把换成零而写出方程该方程叫做对

4、应于非齐次线性方程的齐次线性方程。齐次线性方程的通解为非齐次线性方程的通解为伯努利方程：方程叫做伯努利（Bernoulli）方程。当时，该方程是线性微分方程，当时，该方程不是线性的，但是通过变量的替换，便可把它化为线性的4.可降阶的高阶微分方程型的微分方程：微分方程的右端仅含有自变量x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那么微分方程即化为新未知函数的一阶微分方程，两边积分，就得到一个阶的微分方程同理可得依此法继续进行，接连积分n次，便得到方程的含有n个任意常数的通解。型的微分方程:方程的右端不显含未知函

5、数y。如果我们设，那么因此，方程就成为，这是一个关于变量的一阶微分方程，设其通解为，又因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便得到方程的通解为型的微分方程：方程中不显含自变量x，为了求出它的解，我们令，并利用复合函数求导法则把化为对的导数，即这样，方程就成为这是一个关于变量的一阶微分方程，设它的通解为分离变量并积分，便得方程的通解为14.3高阶线性微分方程1.线性微分方程解的结构在n阶微分方程中，若是的一次有理整式，则称此方程为n阶线性微分方程。一般形式可写成：线性微分方程解的结构定理：如果是方程的n

6、个线性无关的解，则该方程的通解为其中是任意常数。设是方程的一个特解，是对应的齐次线性方程的通解，则是上述方程的通解。若和分别是方程与的特解，则是方程的特解2.常系数线性微分方程的MATLAB符号求解MATLAB中提供了dsolve函数求解微分方程（组）。该函数允许用字符串的形式描述微分方程及初值、边值条件，最终将给出微分方程的解析解。14.4一阶微分方程初值问题的数值解1.欧拉法及其MATLAB实现对于一阶微分方程的初值问题，若要求其数值解，我们可以采用离散化方法。在求解区间上取一组节点：称为步长。为简

7、单起见，仅考虑等距步长，即将方程的两端在区间上积分，得到即应用左矩形公式：，则有略去上式中的，得考虑到，设已求得，的1个近似值，则由上式可得由可依次求出。称上式即为求解初值问题的Euler公式。2.Runge-Kutta法及其MATLAB实现考虑微分方程，由Lagrange微分中值定理，存在，使得于是，由得记，则称为区间上的平均斜率。这样，只要给出了的一种算法，就可以得到求解微分方程初值问题的一种计算公式。显然，显式Euler公式就是以作为平均斜率的近似。经典四阶Runge-Kutta方法的迭代公式：1

8、4.5一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解1.一阶微分方程组前面研究的是求解单微分方程的数值解法，对于微分方程组，只需将y理解成向量，理解成向量函数，那么对前面研究过的各种计算公式即可用到一阶微分方程组上来。2.高阶微分方程对于高阶微分方程组的数值求解，首先应将其变换成一阶显式常微分方程组。其具体转换方法如下：（1）将微分方程的最高阶变量移到等式的左边，其他移到右边，并按阶次从低到高排列，（这里以两个高阶微分方程的转换为例）假设两个高阶微分