"希望杯"中的分类思想

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1、“希望杯”中的分类思想作者：湖南省隆回县第一中学邹启文邮编422200E-mailzouqiwen@126.com电话07396933738分类思想是一种逻辑方法，也是一种数学思想。它在方法上有化整为零之功效，也有化繁为简之功能。在思想上它能促使人们从多层次、各角度、广范围、全面地分析、综合地思考数学问题。学习数学分类思想，对培养学生全面思考问题的习惯与整体分析问题的能力起着重要的促进用，也能使参赛学生的智力因素向纵深发展有着极大的推动作用。分类思想，在希望杯的竞赛试题与培训题中有着广泛的应用。主要表现在对实数的常规讨论过程中、

2、对包含相容关系的讨论过程中、对共性组合的讨论过程中。一、表现在对实数的常规讨论过程中所谓常规讨论，就是将数学问题，分不同条件、在不同范围内研究数学对象的固有特征与规律的思想方法。在讨论中尽管有时会出现否定结果，但这也是不可缺少的分析过程。例1：若＜0且＞＞，则可化为（）（A）（B）（C）（D）（2005年希望杯初二培训试题）分析：因＜0，则、、三数满足条件的符号有两种情况，一是三数同为负数，二是三数中有两正一负。解题时必须全面考虑到这两种情况，对其进行分析讨论，然后再作出正确选择。解：当、、三数同负时，则＜0，这时无意义，帮应该

3、排除。当、、三数有两正一负时，则可设＞0、＞0、＜0时，则＞0，于是，故应选B答案例2、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边是18，那么另一条直角边的长有＿＿＿＿种可能。它的最大值是＿＿＿＿（2004年希望杯初二第二试试题）分析：由题意可知所给三角形为直角三角形，故三边必满足勾股定理，从勾股定理取整数解得几种情况，然后分别讨论这些情况。解：设、、为直角三角形三边，且为斜边，若=18，则，即，∵三条边长均为整数5∴边长、应有7种情况，即：或或或或或或当、满足时，解得非整数解，不合题意，应该排除。同理可知当、满足或或

4、或时，均非整数解，都应该排除，只有当、满足和时符合条件，是整数解，且由方程组解得：与那么另一条直角边的长有“2”种可能，它的最大值是“80”二、表现在对包含相容关系的讨论过程中在数学问题中，存在着一种大包含小、多包含少、整体包含部分的具体事实。在分析这类问题时，通常用分类思想来解决。例3：如图由若干个小正三角形组成，则图中正三角形的个数是（）ED（A）90（B）100（C）110，（D）116（2005年希望杯初二培训试题）ABCDEFFCBA分析：本题中的大正三角形由小正三角形组成，图形互相包容，互为所属，难点在于如何分类与清

5、楚地数出某类正三角形的个数，对于这两点，只要我们仔细分析大正三角形是怎样组成的，同时在清数时注意方向性，一层一层地列数，然后求和。那么也并不很难。解：根据题意与所给图形，可分四类，一是最小正三角形、二是由4个小三角形组成的正三角形、三是由9个小三角形组成的正三角形、四是由16个小三角形组成的正三角形。在数图形中适合某一条件的三角形时，例如在数由4个小三角形组成的正三角形的个数时，我们从AB往DE数得2（绿）、3（蓝）、4（紫）、5（红）、4（黄），合185个，然后再从DE往AB方向数也得18个，因为它并不重复。故共有个。其它类推

6、。由分类思想可知：1类为最小正三角形共有个。2类为由4个小三角形组成的正三角形共有个。3类为由9个小三角形组成的正三角形共有个。4类为由16个小三角形组成的正三角形共有个。∴整个图形有正三角形的个数个。例4：已知整数、、z满足≤＜z，且那么的值等于（）（A）2（B）14（C）2或14（D）14或17（2005年希望杯初二第二试试题）分析：解决本题我们先引入无序对应数组记号，即对于元素组中的每一个所对应的值不一定按的顺序排列，简称无序数组。题中目的是在方程组中，要求同时适合两个方程的公共解，其公共解必包含于两个方程之中，但两个方程

7、中有三个未知数，怎么求？其实已知整数、、z满足≤＜z条件，已经限定了解的范围。解；方程组中，由于方程，∵、、z为整数，和绝对值的非负性，则有三个绝对值的取值有且只有无序数组（4、0、0）、（2、2、0）、（2、1、1）三种情况，又∵、、z满足≤＜z，∴只有（2、1、1）一种情形满足的要求，∴由条件≤＜z可知、、z的值有三种可能情况，即或或；同理对于方程，∵、、z为整数，则有三个绝对值的取值有且只有（2、0、0）、（1、1、0）两种情况，又∵、、z满足≤＜z，∴只有（1、1、0）一种情况满足要求。∴由、、z满足≤＜z知，适合该方程

8、的解5有且只有与两组。综上所述方程组的公共解为，∴三、表现在对共性组合的讨论过程中整体由不相容的独立部分所组成，且其中某些元素相互之间存在天然的共同属性，人们，通常把具有共性的一些元素组合在一起来研究，称为共性组合。例5、用1、2、3、4、5这五个数可以组60个