《多元多项式环》ppt课件

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1、§7.9多元多项式环第七章多项式环前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。设F是一个数域，是n个文字，形如—（1）的式子，其中是非负整数，称为一个单项式。如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和就称为n元多项式，简称多项式，记为—（2）和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等，相加、相减、相乘。相等：如果F上两个n元多项式有完全相同的项（或者只差一些系数为零的项），则称这两个多项式是相等的。相加：F上两个n元多项式

2、与的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加多得的n元多项式。例如：设则f与g的和是相减：设把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式叫做g的负多项式，记为相乘：F上两个n元多项式与与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）所得的多项式称为f与g的积，记为fg。的乘积指的是，先把f的每一项例如则这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设则⑴（加法结合律）⑵（加法交换律）⑶（乘法结合律）（乘法交换律）⑷⑸（乘法分配律）我们把F上一切n个文字的集合，连同以上定义的加法和乘

3、法叫做F上n个文字的多项式所成的多项式环，记作同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。设称为单项式的次数，对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数，记为设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系：1、2、结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。每一类单项式（1）都对应一

4、个n元数组为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。其中为非负整数，这个对应是1-1的，设两个单项式分别对应n元数组和考虑如果有使而则称n元数组先于数组记为于是对应于的单项式就排在对应于的单项式前面。例如，对多项式按字典排列法写出来就是：应该注意的是，把一个多项式按字典排列法书写后，次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到定理1：数域F上两个非零的n元多项式和的乘积的首项等于这两个多项式

5、首项的乘积。证明：设的首项为的首项为为了证明它们的积为fg的首项，只要证明数组先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。的有序数组有三类：中其他单项式所对应①②③其中于是这证明在乘积fg的首项。推论1：则的首项等于每个的首项的乘积。如果推论2：如果则现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来，设是一个n元多项式，则称f是一个k次齐次多项式，简称k次齐次。如果中各项都有同一次数k，例如就是一个4次齐次多项式。两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。任何一个m次多项式都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即是i次

6、齐次多项式，若就是f的一个i次齐次成分。数域F上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定理2：证明：设且它们的次数分别为m和s，把f与g分别写成齐次多项式的和：这里或者等于零，或者分别是i次或j次齐式并且于是由推论2：且是一个m+s次齐式，其余各项或者等于零，或者是一个次数低于m+s的齐式。因此同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函数是相同的。对于数域F上一个n元多项式对F中任意n个数如果在中，用代替就得到数域F中一个确定的数，称为时多项式的值，用来表示。如果由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数。则数组叫

7、做的一个零点。对作映射：这个映射就确定一个由到F的函数，称为多项式在的值。设如果则对都有这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。下面证明其反面也成立。定理3：设如果对任意都有则证明思路：当n=1时结论显然成立，假设对于F上n-1个文字的多项式来说结论成立，现考虑n个文字的多项式，把含有同一次幂的项归在一起并把的幂提到括号外，则这里任意取定代入得已知对有取则有由于定理对一元多项式成立，故有又由于对中有由归纳假设，故从而