线性方程组教案

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1、第三章线性方程组教学安排说明章节题目：§3.1线性方程组的消元解法；§3.2向量与向量组的线性组合；§3.3向量的线性相关性；§3.4向量组的秩；§3.5线性方程组解的结构；习题课学时分配：共12学时。§3.1线性方程组的消元解法；3学时§3.2向量与向量组的线性组合1.5学时§3.3向量的线性相关性1.5学时;§3.4向量组的秩；3学时§3.5线性方程组解的结构；习题课3学吋本章教学目的与要求：：S的：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系及线性方程组的求解方法。要求1)•理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系；2).熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

2、3).理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法；4).掌握线性方程组有解的判定定理及应用；5).掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；课堂教学方案课程名称：§3」线性方程组的消元解法授课时数：3学吋授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：使学牛掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系，熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；教学重点、难点：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，消元法解线性方程组的具体做法，教学内容§3.1线性方程组的消元解法现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为(3.1)。】"+%兀2+…+40严也，^2］兀1+

3、Cl22X2Ha2nXn=S,厲內+a沁兀2+•••+%/=5的方程组，(7=1,2,•••,772；./=1,2,•••,/?)称为线性方程组的系数，®(./=l,2,…，加)称为常数项.系数切的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标丿表示它是厂的系数.其中州*2,…，兀“代表〃个未知量，加是方程的个数，方程组中未知量的个数刃与方程的个数加不一定相等.若记：al%“2X=/x2•••b=b2•••/"丿%而系数和常数项又可以排成下表:。12…aa22…a2nb2(3.2)bJam有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程显然AX=b,实际上，组(3.1)就确定

4、了，方程解的情况与采用什么文字来代表未知量没有关系.这里矩阵A称为线性方程组的系数矩阵，A称为增广矩阵。在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法。解二元、三元线性方程组•实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性•下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例1,解方程组2xi+2x2-x3=6,vXj-2x2+4x3=3,5x,+7兀2+x3=28.不难看岀，在消去未知量的过程中，它实际上是反复地对方程组进行变换,而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1.互换两个方程的位置，2.用一非零数乘某一方程；1.把一个方程的倍数加到另一个方程。以上三种变换1,2,3称为线性

5、方程组的初等变换.所谓方程组(3.1)的一个解就是指由〃个数心，他，…，红组成的有序数组当坷宀，…忑分别用心人，…&代入后，(3.1)屮每个等式都变成恒等式.方程组(3.1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组线性方程组有没有解完全取决于(3.1)的系数和常数项，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组的解就基本上确定了.显然，消元法求方程组解的过程就是相当于对线性方程组的增广矩阵反复施行初等变换的过程•线性方程组的

6、初等变换对应于矩阵的初等行变换，因此，以下从矩阵的初等变换入手讨论方程的解。定理3.1线性方程组(3.1)的增广矩阵总可以通过矩阵的初等行变换和第一种列变换化为以下形式：/5C2ncl2°°21(3.3)相应地，线性方程组(3.1)化为+CI2X2+---+ClrXr+---+CI,?X,?=6/I,C22X2+•••+C2r^r+・・・+02“兀”=〃2，(3.4)g+・・・+c”=<,°=乙+i，0=0,0=0.因此线性方程组(3.1)有解的充要条件是r(A,b)=r(A)f并且当r(A,b)=n时方程组有唯一解，当r(A,b)

7、查州的系数.如果州的系数如卫21，・・・卫$】全为零，那么方程组(3.1)对州没有任何限制，坷就可以取任何值，而方程组(3.1)可以看作花，…，兀的方程组来解•如果坷的系数不全为零，那么利用初等变换1，不妨设％工0.利用初等变换3,分别把第一个方程的-鱼倍加到第i个方程°11(i=2，…必)•于是方程组(3.1)就变成绚內+%2花+…+4M”心2+•••+＜：£=(其中必=叫•切，心2,•••,$,j=2,…，na[相应的，増广矩