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1、齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126齐次线性方程组4.线性方程组126第4章线性方程组的数值解法14.1预备知识4.1.1线性方程组的数值解
2、法线性方程组的数值解法一般有两类：1.直接法(消元法)经过有限步算术运算，求得方程组精确解的方法.但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法只能求得线性方程组的近似解.2.迭代法126用某种极限过程逐步逼近线性方程组精确解的方法.24.1.2向量和矩阵用Rm´n表示全部m´n实矩阵的向量空间，Cm´n表示全部m´n复矩阵的向量空间.AÎRm´néa11a12La1nùêaúaLa2núÛA=(aij)=ê2122êMMMúêúëam1am2Lamnû这种实数排成的矩形表，称为m行n列矩阵.éx1ùêxúxÎRnÛx=ê2úêMúêúëx
3、nû称为n126维列向量.3矩阵A可以写成列向量的形式A=(a1a2Lan),其中ai为A的第i列.也可写成行向量的形式æa1TçTça2A=ççMçaTèmö÷÷÷,÷÷ø其中aiT为A的第i126行.4矩阵的基本运算：(1)矩阵加法C=A+B,cij=aij+bij(A,B,CÎRm´n)(2)矩阵与标量的乘法C=aA,(3)矩阵与矩阵乘法C=AB,ncij=aaij.cij=åaikbkj(AÎRm´n,BÎRn´p,CÎRm´p).k=1(4)转置矩阵AÎRm´n,C=AT,cij=aij.(5)单位矩阵I=(e1e2Len)ÎRn
4、´n126,5其中ek=(0,L,0,1,0,L,0),k=1,2,L,n.T(6)非奇异矩阵设AÎRn´n,BÎRn´n.如果AB=BA=I,则称B是-1TT-1A的逆矩阵，记为A-1,且(A)=(A).如果A-1存在，则称A为非奇异矩阵.如果A,BÎRn´n均为非奇异矩阵，则(AB)(7)矩阵的行列式设AÎRn´n,则A的行列式可按任一行(或列)展开，6-1=B-1A-1126.即det(A)=åaijAijj=1n(i=1,2,L,n),其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+jMij,Mij为元素aij的余子式.行列式性
5、质：(a)det(AB)=det(A)det(B),A,BÎRn´n.(b)det(AT)=det(A),AÎRn´n.(c)det(cA)=cndet(A),cÎR,AÎRn´n.(d)det(A)¹0ÛA是非奇异矩阵126.74.1.3特征值与谱半径量ÎXRn，使得AX=λX，则称λ为矩阵A的特征值，X为A的特征向量。A的全体特征值的集合称为A的谱σ(A),A的特征值的绝对值的最大值称为-的谱半径ρa-a(A).L-aöælA11121nç÷l-a22L-a2n÷ç-a21j(l)=det(lI-A)=detçMMOM÷ç÷ç-a-an
6、2Ll-ann÷n1èø=ln-(a11+a22+L+ann)ln-1+(次数£n-2的项)定义1.设A=(aij)n*nÎRn*n,126若存在数据λ，和非0向为矩阵A的特征多项式.8j(l)=det(lI-A)=0为A的特征方程,一般有n个根,称为A的特征值.tr(A)=åaii=ålii=1i=1nndet(A)=l1l2Llntr(A)为A的迹。若存在可逆矩阵S，使B=S-1AS，称B为A的相似126矩阵。94.1.4特殊矩阵设A=(aij)ÎRn´n.(1)(2)(3)(4)对角矩阵如果当i¹j时，aij=0.三对角矩阵如果当i-
7、j>1，aij=0.上三角矩阵如果当i>j时，aij=0.对称矩阵如果AT=A.(5)正交矩阵如果A-1=AT126.10定理1设AÎRn´n，则下述命题等价：(1)对任何bÎRn,方程组Ax=b有唯一解.(2)齐次方程组Ax=0只有唯一解x=0.(3)det(A)¹0.(4)A-1存在.(5)A的秩rank(A)=n126.114.2高斯消去法(消元法)124.2.1设有线性方程组高斯消去法ìa11x1+a12x2+L+a1nxn=b1,ïax+ax+L+ax=b,ï2112222nn2íïLLLLLLLLLLLïîam1x1+am2x2
8、+L+amnxn=bm.a或写为矩阵形式æç11ça21çMççaèm1a12La22LMam2La1na2nMamnöæ÷ç÷ç÷ç÷ç÷çøèx1x2Mxn（2.1）öæb1
