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1、定积分定义定积分的几何意义:各部分面积的代数和可积的两个充分条件:1.2.且只有有限个间断点定积分的性质(7条)§5.1内容回顾(大前提:函数有界)定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)规定5.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则推论2.6.设则7.定积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质6可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因改成P241例6内容小结1.定积分的定义—特殊和式的极限2.定积分的性质3.定积分中值定理连续函数在区间上的平均值
2、公式注:可进一步修改为(证明见§5.2)1.P235题42.P236题13(4)题13(4)解:设即但(P23512(2))在[0,1]上严格单增定积分中值定理(推广)证明:则至少存在一点若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且保号使得,(保号的保持在积分内)(P270第14题)证:不妨设g(x)≥0,若g(x)≡0则命题显然成立,若g(x)≡0,则设f(x)在[a,b]上的最小(大)值为m(M).mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)在[a,b]上积分得,由介值定理得,即使得若在[a,b]上连续,证明且若(
3、P235第12题)则(1)且若则(2)且若则(3)证:(1)(反证)设则存在x0使得f(x0)>0不妨设则存在x0的某邻域U(x0,δ),当x属于U(x0,δ)时,f(x)>与矛盾.所以且若则(2)由(1)反证.首先若由(1)得,矛盾,所以…(3)令F(x)=g(x)－f(x)由(1)得,F(x)=g(x)－f(x)≡0即g(x)=f(x)．二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例§5.2微积分的基本公式第五章(微积分的基本公式)一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数则物体在时间间隔内经过的位移为这种定
4、积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.在这里s(t)是v(t)的原函数，即二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有定理1.若(ξ介于x与x+h之间)说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.(推导在后面)三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则例1.计算解:原式=例2.计算解:原式=例4.计算正弦曲线的面积.解:例3.计算解:
5、
6、例5.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度
7、刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?例6.求解:原式例7.确定常数a,b,c的值,使解:原式=c≠0,故又由～,得例8.证明在内为单调递增函数.证:只要证例9.设求在[０,２]的表达式.解:时,时,总之…内容小结则有1.微积分基本公式3.变限积分求导公式2.定积分中值定理的推广ξ∈(a,b)或ξ∈(b,a)所以(保号的保持在积分内)作业P2433;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);11,12,13
