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1、《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是()oooooooo(A)limA=unA;(B)limA=nuA;n—h=1k=n，?一z?=lk=n00000000(C)limA"=nu;(D)lim=Ak;打一＞ooz:=lk=nz?=lk=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是()(A)~P=c(B)mP=0(C)P=P(D)P=P3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4
2、是£上的e有限的可测函数列，则下而不成立的是()(A)若又(x)=>/(x),则又(x)+/(x)(B)sup{/„Cr)}是可测函数(Oinf{//%)}是可测函数；(D)若/TH又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A)/(X)在［6Z，/7］上有界(B)/(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数cb(C)/(X)在上L可积(D)Jafx)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X5=15分)1、(CsAuCv5)n(A-(A-B))=2、设£是［0，1］上有理
3、点全体，则E-,E-,E-.3、设£是/?。中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立，则证明之;若不成立，则举反例说明.(5分X4=20分)1、设Ec/?1,若万是稠密集，则C£是无处稠密集。2、若mE=O,则£一定是可数集.3、若
4、/(x)
5、是可测函数，则/(x)必是可测函数4、设7Xx)在
6、可测集£上可积分，若/^£，/0)〉0，贝^2、（8分）求linjn“五、证明题（6分X4+10=34分）.1、（6分）证明fO，l］上的全体无理数作成的集其势为e~xeosxdx四、解答题（8分X2=16分）.了，则/（x）在［0，1］上是否/?-U，x为南理数可积，是否L-可积，若可积，求出积分值。ln（x+n）2、（6分）设/（X）是（-oo，+oo；）上的实值连续函数，则对于任意一、1.C2D3.B4.A5.D二、1.02、[0,1]；0；[0,1]3,mT-m(Tn£)+m'(TnCE)4、充要5、i
7、p，⑷-，（么叫成一有界数集。三、1.错误2分例如：设£是［0，1］上有理点全体，则£和（?£都在丨0，1］中稠密5分2.错误2分例如：设£是0/*厂集，则m£=0,但£=（:,故其为不可数集5分3.错误例如：设£是卜，^上的不可测集，/•U)二X,XE£;-x,xe[a,b]-E;则l/W
8、是h，/7］上的可测函数，但/（X）不是［以］上的可测函数…4.错误m£=0时，对E上任意的实函数/⑺都有］7（%咏=0E四、1./⑴在［0，1］上不是/?-可积的，因为/Cr）仅在x=l处常数61，£={%
9、/（；1）^}
10、是闭集。3、（6分）在上的任一有界变差函数/（幻都可以表示为两个增函数之差。4、（6分）设772£<00，/（幻在£上可积,A=£（1/1^7），贝IJlimz?-men=0.nfc5、（10分）设/（幻是£上^.有限的函数，若对任意5〉0，存在闭子集^c£,使/（x）在^上连续，且证明：/（幻是£上的可测函数。（兽津定理的逆定理题瞥（参考答案及评分标准）连续，即不连续点为正测度集……..3分因为/（x）是有界可测函数，/(x)在［0，1］上是L-可积的."6分因为/(x)与x2“.e.相等，进一步，J*Q1/(
11、x)tZr==丄...8分2.解：设人⑺=lnCY+/?)fcow,则易知当，74oo时，n又⑺七02分又因int1-lnrt2<0,(r>3),所以当n仝3，x20吋，ln(A+n)"+%ln(X+n)<^^<^(l+x)……4分3.x+nIn3从而使得I人(那〒(1+x)e~x但是不等式右边的函数，在f0，+oo；)上是L可积的，故有lim£fn{x)dx=£lim/n(^x)dx=08分五、1.设£=[0，1],Zl=£n2，S=£(£n2).•.•S是无限集,.可数子集A/cS2分...欠是可数集，••
12、•欠uA/口M..3分vB=Mu(BA/),£=AuB=AuA/u(BM),•••£*]B，:.B=c.6分2.Vxg£'，则存在肿的互异点列UJ，使limx„=x.2分•••x，£，•••f(xn)>a3分•••/(x)在x点连续，人/(%)=limf(xn)>aZ?—>oo•••xeE5分•••£是闭集..6分对r=l,3J>0,使对任意互不相交的有限个(6Zp/
