实变函数(复习资料,带答案)

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1、《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分）1、下列各式正确的是（）（A）;（B）;（C）;（D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（）（A）c(B)(C)(D)3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若,则(B)是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A)在上有界(B)在上几乎处处存在导数（C）在上L可积(D)二.填空题(3分×5=15分)1、______

2、___2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______.3、设是中点集，如果对任一点集都_________________________________，则称是可测的4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________,则称为上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。2、若，则一定是可数集.3、若是可测函数，

3、则必是可测函数4．设在可测集上可积分，若，则（第15页，共15页）四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。考生答题不得超过此线2、（8分）求五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。考生答题不得超过此线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4、（6分）设在上可积，，则.5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理试卷一（参考答案及评分标准）一、1.C2D

4、3.B4.A5.D二、1．2、；；3、4、充要5、成一有界数集。三、1．错误2分例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密5分2．错误2分例如：设是集，则，但c，故其为不可数集5分3．错误例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数…4．错误四、1．在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为（第15页，共15页）是有界可测函数，在上是可积的…6分因为与相等，进一步，…8分2．解：设，则易知当时，2分又因，()，所以当时，……4分从而使得………………………6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有…………………8分五、1．设………………2分…………………

5、…………….3分………..5分…………………………6分2．……….2分………………….3分………………5分………………………….6分3.对，，使对任意互不相交的有限个当时，有………………2分将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数……………….5分所以从而，因此，是（第15页，共15页）上的有界变差函数………..6分4、在上可积……2分据积分的绝对连续性，，有……….4分对上述，从而，即…………………6分5．存在闭集在连续…………2分令，则在连续………4分又对任意,………………………….6分故在连续…………..8分又所以是上的可测函数，从而是上的可测函数……………………..10分《实变函数

6、》试卷二一.单项选择题（3分×5=15分）1．设是两集合，则=（）(A)(B)(C)(D)2.下列说法不正确的是()(A)的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B)的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点(C)存在中点列，使，则是的聚点(D)内点必是聚点3.下列断言()是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4.下列断言中()是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；5.若，则下列断言（）是正确的（第15页，共15页）(A)在可

7、积在可积；(B)(C);(D)二.填空题(3分×5=15分)1、设，则_________。2、设为Cantor集，则，_____，=________。3、设是一列可测集，则4、鲁津定理：__________________________________________5、设为上的有限函数，如果_________________则称为上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明