实验4微分方程符号解与数值解

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1、【实验目的】1.求微分方程的符号解。2.求微分方程的数值解。【实验内容】问题1:求/+4/+29po满足初始条件}<0）=0，/（0）=15的符号解。问题2:求解微分方程/=y2-卜2,y（o）=2,0SfS10.4（，+1）先求符号解，再求数值解，并作图进行比较.问题3:求解常微分方程士刈”2）李”=°’y（°）”0的解，并画出解的图形。其中，#=7。【相关介绍】（一）微分方程的符号解.微分方程的符号解也叫做解析解.求微分方程（组）的符号解用命令dsolve.命令格式如下：s=dsolve（

2、方程17方程27-7初始条件

3、17初始条件iT77’，’自变量）说明：用字符串表示方程，自变量缺省则默认为t.导数用D表示,2阶导数用D2表示，以此类推。返回值s是符号解.例1:求y=即+/?的符号解.s=dsolve(’Dy=a*y+b’)％自变量缺省则默认为t例2:求=sin(2x)一y满足初始条件y(0)=0,/(0)=1的符号解.s=dsolve(’D2y=sin(2*x)-y’，’y(0)=0’，’Dy(0)=1’，’x’)simplify(s)%如果得到符号解比较复杂,可以试试化简大家得到的结果是什么呢？(二)微分方程的数值解.一般说来，只

4、有对一些典型的常微分方程，才能求出它们的一般解.然而在实际问题中遇到的常微分方程往往很复杂，在许多情况下得不出一般解.所以一般是要求在若干点的近似数值解.求数值解的命令如下：[xout，yout]=ode45(’equation’，[x0，xmJ，y0)说明：(1)返回值中，xout表示自变量的取值点(x0,Xi,---,xn)',yout表示数值解，它是一个矩阵,它的每一列对应y的一个分量。⑵这里’equation1必须是事先定义的表示微分方程(组)的M-文件。(3)[x0，xm]是自变量的区间。(4)y0是初始向量值。

5、(5)ode45还可以换成其他算法，如ode23.注意：命令ode45或ode23是对一阶常微分方程(组)设计s=dsolve(’Dy=a*y+b’)％自变量缺省则默认为t例2:求=sin(2x)一y满足初始条件y(0)=0,/(0)=1的符号解.s=dsolve(’D2y=sin(2*x)-y’，’y(0)=0’，’Dy(0)=1’，’x’)simplify(s)%如果得到符号解比较复杂,可以试试化简大家得到的结果是什么呢？(二)微分方程的数值解.一般说来，只有对一些典型的常微分方程，才能求出它们的一般解.然而在实际问题

6、中遇到的常微分方程往往很复杂，在许多情况下得不出一般解.所以一般是要求在若干点的近似数值解.求数值解的命令如下：[xout，yout]=ode45(’equation’，[x0，xmJ，y0)说明：(1)返回值中，xout表示自变量的取值点(x0,Xi,---,xn)',yout表示数值解，它是一个矩阵,它的每一列对应y的一个分量。⑵这里’equation1必须是事先定义的表示微分方程(组)的M-文件。(3)[x0，xm]是自变量的区间。(4)y0是初始向量值。(5)ode45还可以换成其他算法，如ode23.注意：命令o

7、de45或ode23是对一阶常微分方程(组)设计s=dsolve(’Dy=a*y+b’)％自变量缺省则默认为t例2:求=sin(2x)一y满足初始条件y(0)=0,/(0)=1的符号解.s=dsolve(’D2y=sin(2*x)-y’，’y(0)=0’，’Dy(0)=1’，’x’)simplify(s)%如果得到符号解比较复杂,可以试试化简大家得到的结果是什么呢？(二)微分方程的数值解.一般说来，只有对一些典型的常微分方程，才能求出它们的一般解.然而在实际问题中遇到的常微分方程往往很复杂，在许多情况下得不出一般解.所以一

8、般是要求在若干点的近似数值解.求数值解的命令如下：[xout，yout]=ode45(’equation’，[x0，xmJ，y0)说明：(1)返回值中，xout表示自变量的取值点(x0,Xi,---,xn)',yout表示数值解，它是一个矩阵,它的每一列对应y的一个分量。⑵这里’equation1必须是事先定义的表示微分方程(组)的M-文件。(3)[x0，xm]是自变量的区间。(4)y0是初始向量值。(5)ode45还可以换成其他算法，如ode23.注意：命令ode45或ode23是对一阶常微分方程(组)设计的，因此对高阶

9、常微分方程,需将它转化为一阶常微分方程组.例如对二阶常微分方程y"+（y+）y+y=0，通过令乂=/，h=y得到一阶常微分方方程组y2=在求数值解时，我们往往将数值解与画图结合，将数值解用图像呈现出来.例3:教材《数学模型》第139页的数值计算.实际上是求解微分方程组dx'dtdx2dt=x,x2-0