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《研究性学习：中间结论在解析几何中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中间结论在圆锥曲线解题中的应用一．抛物线1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2)，则有如下结论：（1）＝x1+x2+p；（2）y1y2=－p2，x1x2=；（3）；（4）以AB为直径的圆与准线相切；（5）以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；（6）若的倾斜角为，则；；2.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB（OA⊥OB）的性质：（1）；（2）恒过定点；3.抛物线的参数方程：，则（为参数）.1.【2012重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=.【答案】设AF=m,BF=n,则有解得或(舍)【解析】抛物线的
2、焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.2.【2012安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则11=______。【答案】【解析】设及；则点到准线的距离为，得：又。方法一:在用统一的极坐标方程方法二：小题大做，求得A点坐标得直线AF的方程，从而求坐标而得之；方法三：用中间结论，其中m,n是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p就是焦准距。3.(2014新课标II理).设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.B.C.D.法二：利用【答案】D4.(13课标二卷理11)设
3、抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，
4、MF
5、=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x（B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x（D）y2=2x或y2=16x答案：C【解】设M(x0,y0)，由
6、MF
7、=5⇒x0+=5⇒x0=5-圆心N(+,)到y轴的距离
8、NK
9、=+=
10、MF
11、，则圆N与y轴相切，切点即为K(0,2)，且NK与y轴垂直⇒y0=411⇒2p(5-)=16⇒p=2或8.二、焦三角形面积公式椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为(1).设P点是双
12、曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则.练习题：1.（2010全国卷1文数）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则（B）(A)2(B)4(C)6(D)8【解析2】由焦点三角形面积公式得：4【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】.由余弦定理得cos∠P=4【解析2】由焦点三角形面积公式得：4法三：：112.(2009年上海理9)已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.w.w.w.
13、k.s.5.u.c.o.m【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。方法二:利用中间结论口算.3、（09京文13）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小为.第二问：徐晨然的方法：用的中间结论要优于余弦定理,∵,2，∴代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！第二问宋子霖30°三．通径椭圆(a＞b＞0)与双曲线（a＞0,b＞0）的通径都是,抛物线的为2p1.2011全国新课标理7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A．B．C．2D．3B 【解析】设双曲线方程为－
14、＝1(a>0，b>0)，直线过右焦点F，且垂直于x轴交双曲线于A，B两点，则＝＝4a，所以b2＝2a2，所以双曲线的离心率e＝＝.2.【2012重庆文14】设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，11垂直于轴，则双曲线的离心率【解析】由得，又垂直于轴，所以，即离心率为。四、中点弦弦的斜率:椭圆与双曲线相反数的关系，抛物线是p/y01.（2010年全国理12）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为()(A)(B)(C)(D)B解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，则有，两式相减并结合得，，从而，即，又，解得，
15、故选B．直接用中间结论就可。2.(2013年新课标Ⅰ卷理10)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A、＋＝1B、＋＝1C、＋＝1D、＋＝1【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设，则=2，=－2，①②①－②得，11∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D.3.（2010山东文数）（9）已知抛物线，过其焦点且斜
