矩阵范数标准详解

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1、《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一．矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。最容易想到的矩阵范数，是把矩阵可以视为一个维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用上的向量范数来作为的矩阵范数。比如在范数意义下，；（1.1）在-范数意义下，，（1.2）注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。那么是否

2、矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计的“大小”相对于的“大小”关系。定义1设，对每一个，如果对应着一个实函数，记为，它满足以下条件：（1）非负性：；（1a）正定性：（2）齐次性：；（3）三角不等式：则称为的广义矩阵范数。进一步，若对上的同类广义矩阵范数，有（4）（矩阵相乘的）相容性：，，则称为的矩阵范数。我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们，三角不等式的验证。按列分块，记。对上式中第2个括号

3、内的诸项，应用Cauchy不等式，则有（1.3）于是，两边开方，即得三角不等式。再验证矩阵乘法相容性。9（这一步用了Cauchy不等式）（1.4）可见，矩阵相容性满足。这样就完成了对矩阵F-范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可以了吗？No!运用-范数于矩阵范数时便出了问题。如果，那么,这样的矩阵范数在下面一个例子上就行不通。设。因此，按上述矩阵∞-范数的定义，，于是但这是矛盾的。所以简单地将-范数运用于矩阵范数，是不可行的。虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。由此，我们必须认识到，不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。为此,我们

4、仅给出矩阵范数的定义是不够的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。当然，你也可以不去考虑构成方法，一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。不过这样做的工作量太大，也很盲目。第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中，所以在考虑构造矩阵范数时，应该使它与向量范数相容。比如要考虑的“大小”，是一个向量，但它由与相乘而得的，它与的“大小”和的“大小”的关系如何？这提出了两类范数相容的概念。定义2对于上的矩阵范数和上的同类向量范数，如果成立（1.5）则称矩阵范数与向量范数是相容的。例1．1可以证明是与向量范数相容。事实上，在（1。2）中，取，那么一．矩阵算

5、子范数现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容，当然，它也满足定义1规定的4个条件。定义3设上的同类向量范数为，，定义在空间上的矩阵的由向量范数诱导给出的矩阵范数为（2.1）9可以验证，这样定义出的矩阵范数满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数与向量范数相容性要求（定义2）。由于有什么样的向量范数，就有什么样的矩阵范数，所以，这样的矩阵范数称为由向量范数诱导出的，简称诱导范数；又因为（2.1）实际上规定了一个函数（或算子），故又称为算子范数。（2.1）给定的范数实际是寻求一个最优化问题的最优值，求目标函数的最大值，约束条件是，

6、也就在空间中除原点外的点中，找一个n维向量，使取得最大值。如果直接考虑这样一个优化问题,还是有困难的.可以证明，它可以下列等价方式定义,使问题的处理简单。（2.2）事实上,分母上的是一个正数(),那么根据向量范数的齐次性有上面第3个等号成立是因为向量为一个单位向量。下面我们从理论上证明这样的矩阵范数满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数与向量范数相容性要求。定理2。1由（2.1）或（2.2）给定的上的矩阵范数满足矩阵范数定义1的4个条件，且与相应的向量范数相容。证明：首先，矩阵范数与向量范数的相容性是不难证明的，事实上，对=1,,因此,矩阵范数与向量范数的相容

7、性条件（1.5）成立。我们下面来验证（2.1）或（2.2）满足矩阵范数的4个条件。这4个条件中，前2个也容易验证，因此这里只来考察第3,4个条件。三角不等式的验证:对于任一矩阵相乘相容性的验证:由（1.5），不难有当时，所以至此，证实了用算子范数确能给出满足矩阵范数定义和矩阵范数与向量范数的相容性的矩阵范数。9推论1对于上的任一种向量诱导范数，都有（2。3）但是要注意的是，对一般的矩阵范数，对任一向量，有故有。比如，不是诱导矩阵范数，所以。三．几个常用的诱导矩阵范数上面的论述表明，诱导矩阵范数与向量范数密切相关，有何种向量范数，就有什么样的诱导矩阵范数。下面就来