奥数：小学奥数系列：第五讲 找几何图形的规律

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1、第五讲找几何图形的规律　　找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。　　下面就来看几个例子。例1按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？　　分析观察中，注意到图5—1中每行三角形的个数

2、依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2；图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。　　解：在图5—1的“？”处应是三角形△，在图5—2的“？”处应是例2请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。　　分析首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复

3、的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是：　　①仅由圆、三角形、正方形组成；　　②各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。　　因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。　　解略。例3按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填上合适的图形.　　分析显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、（c）中都有3个图形，而（b）中只有两个.由此可知：图（a）到（b）的变化规律对应于图（c

4、）到（d）的变化规律.再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。　　解：在上图的“？”处应填如下图形.例4下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.　　分析本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成，图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角

5、形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“？”处的图形就不难得出。　　解：图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.　　小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。例5观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.　　　　分析我们先来看这样两个图：　　（甲）图与（乙）图中，点A、B、C、D的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，A在左方；而乙图中，A在上方，……我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转，乙

6、图可以看作是甲图　　　　90°（或一格）。　　现在我们再回到题目上来，容易看出：例5题中按（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）顺序排列的9个图形，它们的变化规律是：每一个图形（a除外）都是由其前一个图形逆时针旋转90°而得到的.甲乙丙丁四个图形变化规律也类似。　　解：图（i）处的图形应是下面左图，丁图处的图形应是下面右图　　注意：因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点。　　旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力

7、，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果。　　下面再来看几个例子：例6仔细观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填入合适的图形.　　分析显然，图（a）、（b）的变化规律对应于图（c）的变化规律；图（d）、（e）的变化规律也对应于图（f）的变化规律，我们先来观察（a）、（b）两组图形，发现在形状、位置方面都发生了变化，即把圆变为它的一半——半圆，把三角形也变为它的一半——直角三角形；同时，变化后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转90°而得到.因此，我们很容易地就把图（c）中的直角梯形还原为等腰

8、梯形并通过逆时针旋转而得到图（c）“？”处的图形。　　当我们从左到右来观察图（d）、（e）的变化规律时，我们发现，图（d）、（e）的变化规律有与图（a）、（b）相同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与图（a）、（b）不同的一面，即图（d）、（e）中右半部分的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过上下翻转而获得.这样，我们就得到了这些图形的变化规律。　　解：图（c