6、b
7、。說明：17=5´1+1217=5´2+717=5´3+217=5´4
8、+(-3)對於17與5我們可以找到許多組整數q，r但如果要求0£r<
9、b
10、，這樣的q，r就只有一組了。即a=bq+r且0£r<
11、b
12、←(這個條件非常重要)17=53+20£2<5其它例子：13=5´2+3，-9=5´(-2)+1，-7=-3´3+2當r=0時a=bq，此時我們稱b是a的因數或a是b的倍數或a可被b整除。符號記為：b
13、a。(2)整除的性質：(a)a
14、a(反身性)(b)a
15、b且b
16、cÞa
17、c(c)a
18、b且a
19、cÞa
20、mb+nc，m,n為整數。Pf：注意！設a是異於0的整數，則下列命題是否成立？(3)因數與倍數：(a)設a,b為整數且b
21、a，我們稱b是a
22、的因數或a是b的倍數。(b)質數：若p是大於1的正整數，且p只有1與p本身兩個正因數，則稱p為質數。注意：(a)質數中只有2為偶數。(b)質數有無限多個。(c)任一質數p的正因數都是_____個，即_________。(d)pk的正因數個數有_________個，即______________________。(c)質因數：若b
23、a且b為質數，則稱b為a的質因數。例如：12的正因數有1,2,3,4,6,12，其中2,3為12的質因數。(d)倍數的判別：2的倍數：末位數字0,2,4,6,85的倍數：末位數字為0或53的倍數：各位數字和為3的倍數9的倍數：各位數字和為
24、9的倍數4的倍數：末二位數為4的倍數8的倍數：末三位數為8的倍數11的倍數：奇位數字和與偶位數字和的差為11的倍數。(e)質數的檢驗(篩法)：設a,b,c為正整數，且a=b×c，b>1,c>1，求證：b,c中至少有一個小於或等於。[證明]：假設b,c均大於Þa=bc>×=a矛盾！設aÎN，a>1，若a不為質數，試證：a必有小於或等於的質因數。[證明]：a不為質數，可令a=bc，其中b,c為大於1的正整數根據前面的證明Þb,c之中至少有一個小於或等於設b£，根據算術基本定理，可找到一個質數p，p
25、bb£，p£又p
26、b且b
27、aÞp
28、a。故a必有小於或等於的質因數p
29、。試判別313是否為質數。(a)=17.□(b)找小於或等於的質數：2,3,5,7,11,13,17(g)用2,3,5,7,11,13,17來除請試判別407是否為質數？(f)標準分解式：如果nÎN，n>1，且，其中p1,p2,…pk為不同的質數，a1,a2,a3….,ak為正整數，這種分解式，稱為n的標準分解式。[例題1]設a為整數，若(2a-1)
30、(5a+1)且(a+2)
31、(5-2a)，則求a的值。Ans：a=1或-3[例題2]設x,yN,x被7除餘6，y被7除餘5，求(1)xy被7除餘多少？(2)x+2y被7除於多少？Ans：(1)2(2)2[例題3]504
32、=23´3
