第六讲数项级数的敛散性判别法.doc

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1、第六讲数项级数的敛散性判别法§1柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理：比较原理：设，都是正项级数，存在，使　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（i）若收敛，则也收敛；（ii）若发散，则也发散．比较原理（极限形式）设，均为正项级数，若　　则、同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法．定理1（柯西判别法1）设为正项级数，（i）若从某一项起（即存在，当时）有（为常数

2、），则收敛；（ii）若从某项起，，则发散．证（i）若当时，有，即，而级数收敛，根据比较原理知级数也收敛．（ii）若从某项起，，则，故，由级数收敛的必要条件知发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2）　设为正项级数，，则：（i）当时，收敛；（ii）当（或）时，发散；（iii）当时，法则失效．例1判别下列正项级数的敛散性；　　　　　　（为任何实数，）．解(1)因为，所以原级数收敛．(2)因为，所以原级数发散．(3)对任意，．当时收敛；当时发散；当时，此时级数是级数，要对进行讨论，当，即时收敛；当时，即时发散．例2判别级数的敛散性．解由于不存在，故应用定理

3、2无法判别级数的敛散性．又因为由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由．解答案：级数收敛，证明如下：由于单调减少且根据单调有界准则知极限存在．设则．如果则由莱布尼兹判别法知收敛，这与发散矛盾，故．再由单调减少，故取，根据柯西判别法1知收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法．定理3（广义柯西判别法1）设为正项级数，如果它的通项的次根的极限等于，即．则当时，级数收敛；当时，级数发散；当级数可能收敛也可能发散．证　因为，即对任给正数，存在正整数，当时，有　　　　　

4、　　（1）对于任给常数，总存在，当有时有（2）取，当时，式（1）和式（2）同时成立．当时，取足够小，使．由上述讨论，存在，当时，式（1）和式（2）同时成立，那么有，正项级数收敛（因为其为等比级数且公比），由比较审敛法知，级数收敛．当时，取足够小，使，由上面的讨论，存在，当时，式（1）和式（2）同时成立，则，正项级数发散，由比较审敛法知，级数发散．当时，取，那么，对任何为常数，有．而发散，收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕．例4判别级数的收敛性．解　因为由广义柯西判别法1知，级数收敛．注　例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而

5、用广义柯西判别法1要简单得多．定理4（广义柯西判别法2）设为正项级数，如果它的一般项的（是大于1的正整数）次根的极限等于，即．则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散．证因为，即对任给的正数，存在正整数，当时有当时，取足够小，使．由上面的讨论，存在，当时，有．因为，又正项级数收敛（因），由比较审敛法知收敛，所以收敛．当时，取足够小，使．由上面的讨论，存在，当时，有，那么，所以级数发散．当时，同样取，那么这说明时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注　广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法

6、1中，取，在广义柯西判别法2中，取便得定理2（柯西判别法2）．例5判断级数的收敛性．解因为，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3）设，若，．则当时，级数收敛；当时，级数发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz定理设、为两个数列，数列在某顶之后单调递增,且，若，（或），则（或）．命题1设数列．若，则。证令，，由Stolz定理，命题证毕．命题2设，．，则．证由，考虑数列，由对数函数的连续性易知．再由命题1知根据指数函数的连续性便得或时，结论仍成立，这里证明略去．命题3设，，则．证令，，由命题2命题证毕．证明定理5由命

7、题3知，再用柯西判敛法(定理2)便得结论．定理证毕．显然，定理2(柯西判敛法2)是广义柯西判别法3当时的特例．例6判定级数的敛散性.解设，则由于，根据广义柯西判别法3知，级数收敛．例7判定的敛散性．解设，则，所以，当时，级数收敛．当时，由于，广义柯西判别法3失效．然而时由级数收敛的必要条件知，当时级数发散．§2达朗贝尔判别法及其推广用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法．定理6（达朗贝尔判别法1）设为正项级数,（i）若从某项起，有，则收敛；（ii）若从某项起，有，则发散．证明（i）由时，有，从而　，，，由于收敛，由比较原理知收敛，故收敛．（ii

8、）若存在，当时，有，则，故，由级数收敛的必要条件知发散．定理证毕．定理7（达朗贝尔判别法2）设，则（i）若，则收敛；（ii）若（或），则