第3讲 平面向量.doc

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1、讲　平面向量【高考考情解读】　从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．1．平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如

2、果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：

3、b

4、cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2

5、)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则

6、a

7、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

8、

9、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.考点一　平面向量的概念及线性运算例1　(1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且

10、

11、＝

12、

13、，则向量在上的投影为(　　)A.B．3C．－D．

14、－3答案　(1)　(2)A解析　(1)如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.(2)由＋＋＝0，得＋＝.又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC.由

15、

16、＝

17、

18、＝2，知△AOC为等边三角形．故在上的投影为

19、

20、cos∠ACB＝2cos＝.(1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向

21、量的起点必须重合．(1)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　)A．2B．3C．4D．5(2)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且

22、

23、＝

24、

25、＝1，

26、

27、＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案　(1)B　(2)6解析　(1)∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．∴＋＝3，∴m＝3.(2)方法一　如图，＝1＋1，

28、1

29、＝2，

30、1

31、＝

32、

33、＝4，∴＝4＋2.∴λ＋μ＝6.方法二　由＝λ＋μ，两边同乘，得2＝λ·＋0，∴λ＝4.∴＝4＋μ，两边同乘，得·＝4＋μ

34、·，即3＝4＋(－)μ.∴μ＝2.∴λ＋μ＝6.方法三　以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(2cos30°，2sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1,0)，C(3，)，B(－，)．由＝λ＋μ得，∴.∴λ＋μ＝6.考点二　平面向量的数量积例2　(1)(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则

35、a＋b－c

36、的最大值为(　　)A.－1B．1C.D．2

37、答案　(1)　(2)B解析　(1)方法一　坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝(，0)·(x,2)＝x.又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)．∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.方法二　用，表示，是关键．设＝x，则＝(x－1).·＝·(＋)＝·(＋x)＝x2＝2x，又∵·＝，∴2x＝，∴x＝.∴＝＋＝＋.∴·＝(＋)·＝＝2＋2＝×2＋×4＝.(2)方法一　由题意知a2＝b2＝c2＝1，又a·b

38、＝0，∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴

39、a＋b－c