千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼 存在性问题_1

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1、第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然

2、后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为。（1）求的值（2）上是否存在点，使得当绕旋转到某一位置

3、时，有成立？若存在，求出所有的的坐标和的方程，若不存在，说明理由解：（1）第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何则，依题意可得：，当的斜率为时解得：椭圆方程为：（2）设，当斜率存在时，设联立直线与椭圆方程：消去可得：，整理可得：因为在椭圆上当时，，当时，，当斜率不存在时，可知，，则不在椭圆上第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何综上所述：，或，例2：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存

4、在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由的周长可得：椭圆（2）假设满足条件的圆为，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线斜率存在，设，与圆相切即联立方程：第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何对任意的均成立将代入可得：存在符合条件的圆，其方程为：当斜率不存在时，可知切线为若，则符合题意若，同理可得也符合条件综上所述，圆的方程为：例3：已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和（1）求椭圆的方程（2）设椭圆与轴负半轴交点为，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（在之间），为中点，并设直线的斜率为①证明

5、：为定值②是否存在实数，使得？如果存在，求直线的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：可得：第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何椭圆方程为：，代入可得：椭圆方程为：（2）①证明：设，线段的中点设直线的方程为：，联立方程：化为：由解得：且②假设存在实数，使得，则即因为在椭圆上，所以，矛盾所以不存在符合条件的直线例4：设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何（1）求椭圆的方程（2）过点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交

6、于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由解：（1）与圆相切将代入椭圆方程可得：椭圆方程为：（2）由椭圆方程可得：设直线，则联立直线与椭圆方程：消去可得：同理：联立直线与椭圆方程：消去可得：第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何因为四边形的对角线互相平分四边形为平行四边形解得：存在直线时，四边形的对角线互相平分例5：椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中（1）求椭圆的离心率的取值范围（2）设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是

7、双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设由可得：代入可得：第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何（2）当时，可得：双曲线方程为，，设，当轴时，因为所以，下面证明对任意点均使得成立考虑由双曲线方程，可得：结论得证时，恒成立例6：如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对于任意直线

8、，恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）椭圆方程为由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得：点在椭圆上椭圆方程为（2）当与轴平行时，由对称性可得：即在的中垂线上，即位于轴上，设当与轴垂直时，则可解得或不重合下面判断能否对任意直线均成立若直线的斜率存在，设，第九章圆锥曲线中的存在性问题解析几何联立方程可得：由可想到角平分