数字滤波器的原理和设计方法

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1、第四章数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案4.1一个离散时间系统由下列差分方程表示：画出实现该系统的方框图。(1)画出该系统的信号流程图。解图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。+（a）3/4-1/8(b)4.2试求出图P4.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。网络Ⅰ网络Ⅱ解网络Ⅰ：根据信号流程图写出差分方程由差分方程得系统函数由上式求出极点：和网络Ⅱ：由图所示的原网络写出以下方程①②由式①得③将③代入式②，得由上式得系统函数极点和可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有相同极点。4.3一个因果线性离散系统由下列差分方程描述：y(n)-y(n-1

2、)+y(n-2)=x(n)+x(n-1)试画出下列形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)级联型；(4)并联型。解（1）直接Ⅰ型1/33/4-1/8（2）直接Ⅱ型3/41/3-1/8（3）级联型1/41/31/2将系统函数写成（4）并联型-7/31/410/31/2将系统函数写成部分分式形式4.4用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现以下系统函数；(1)H(z)=(2)H(x)=0.8解(1)根据系统函数写出差分方程直接Ⅰ型结构可根据系统函数或差分方程得到，如图所示-52-3-0.5-3-1将直接Ⅰ型结构中两个级联系统的位置互换，并

3、省去前向网络的两个单位延迟器，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构。-5-32-3-0.5-1（2）由系统函数写出差分方程或根据系统函数或差分方程得到下图所示的直接型结构的信号流程图。20.8-1.50.8-21.2-0.5交换直接型结构中两个级联系统的次序，并让3个延时器共用，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构的信号流程图。2-1.50.8-20.8-0.51.24.5用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个二阶节都采用直接Ⅱ型结构。H(z)=/解（1）级联结构根据的表示式可直接画出级联型结构的信号流程图，如下图所示。50.5-11.2728-1.4412-0.811（2）并联

4、型结构将用部分分式表示为按上式可画出并联型结构的信号流程图，如下图所示。12.346-3.9780.5-1-3.5661.2728-4.858-0.814.6试证明当FIR滤波器的冲激响应具有奇对称性质，即h(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有分段线性的性质，即具有(1)当N为奇数时，滤波器的幅度响应为其中，,n=1,2,…,。(2)当N为偶数时，滤波器的幅度响应为其中，,n=1,2,…,。对于以上两种情况，幅度响应和相位响应曲线如图P4.6所示。nN-10N-10n000图P4.6解（1）因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即故当N为奇数时，有因此上式中n用置换，

5、得由于滤波器的频率响应为所以令n=1,2,…,得滤波器的幅度响应（2）用置换n，得滤波器的频率响应表示为所以其中n=1,2,…,4.7已知一模拟滤波器的传递函数为试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数，设。解（1）冲激响应不变法将展开成部分分式其中因此对式①求逆拉氏变换，得上式中令t=nT，得对上式求h(n)的Z变换，得将T=0.5代入上式得（2）双线性变换法将代入题给的公式，得4.8设表示一模拟滤波器的冲激响应{用冲激响应不变法将此模拟滤波器转换成数字滤波器。把T当作参数，证明T为任何正值时，数字滤波器是稳定的，并说明此滤波器近似为低通滤

6、波器还是高通滤波器。解在题给的冲激响应表示中，令t=nT,得{求h(n)的Z变换，得数字滤波器的系统函数由于系统函数的极点为，无论T为任何正值恒有，即极点不可能在单位圆内。这就是说，不满足线性移不变系统稳定的充分和必要条件。所以该数字滤波器不是稳定的。令。由系统函数得滤波器的频率特性因此，滤波器的幅度响应为因在（0-）区间，随着的增加，将下降，故该滤波器为低通滤波器。4.9已知一模拟系统的转移函数为试根据这个系统求满足下列两条件的离散系统的系统函数H（z）。（1）冲激不变条件，也就是（2）阶跃不变条件，也就是其中解（1）将展开成部分分式其中所以求逆拉氏变换，得上式中令

7、t=nT，得对上式求Z变换，得系统函数(2)模拟滤波器的阶跃响应与冲激响应有以下关系阶跃响应的拉氏变换与冲激响应的拉氏变换即传输函数之间有以下关系因此将展开成部分分式其中所以求拉氏变换，得上式中令t=nT，得阶跃响应的取样值序列对上式求Z变换，得阶跃响应的取样值序列的Z变换S（z）,由于阶跃响应的取样值序列的Z变换与冲激响应h(n)的Z变换即系统函数H（z）之间有以下关系或所以最后得系统函数4.10一延迟为的理想限带微分器的频率响应为（1）用冲激不变法，由此模拟滤波器求数字滤波器的频率响应，假定。（2）若是=0时由（1）确定的滤波器冲激响应，对某些值