2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词学案 新人教a版选修2-1

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1、1.4.1　全称量词1.4.2　存在量词学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.知识点一　全称量词、全称命题思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).答案　(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.(2)

2、常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.梳理　(1)概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判

3、定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.知识点二　存在量词、特称命题思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案　(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.梳理　(1)概念短语

4、“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.(2)表示特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.(3)特称命题真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.类型一　全称命题与特称命题的判断命题角度1　全称命题与特称命题的不同表述例1　设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：(

5、1)全称命题：∀x∈N，p(x)；(2)特称命题：∃x0∈N，p(x0).解　(1)全称命题：①对所有的自然数x，2x是偶数；②对一切的自然数x，2x是偶数；③对每一个自然数x，2x是偶数；④任选一个自然数x，2x是偶数；⑤凡自然数x，都有2x是偶数.(2)特称命题：①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数.反思与感悟　全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但

6、是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.跟踪训练1　“有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)答案　特称解析　依据特称命题的构成易得.命题角度2　全称命题与特称命题的识别例2　判断下列命题是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.(3)含有全称量词“任意”

7、，故是全称命题.反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练2　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题.(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列，总存在正整数n0，使得与1之差的绝对值小于0.01.解　(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.

8、(2)是特称命题，表示为∃(x0，y0)∈{(x，y)

9、x2＋y2＝1}，满足＝1.(3)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数.(4)是特称命题，∃n0∈N*，

10、－1

11、<0.01，其中＝.类型二　全称命题与特称命题的真假的判断例3　判断下列命题的真假.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3