2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例学案理北师大版

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1、§5.4 平面向量应用举例最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题,求参数范围、最值等问题是考查的热点,一般以选择题、填空题的形式出现,偶尔会出现在解答题中,属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b=0⇔x

2、1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义

3、a

4、==,其中a=(x,y),a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.3.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们

5、的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=F·s=

6、F

7、

8、s

9、cosθ(θ为F与s的夹角).4.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.知识拓展1.若G是△ABC的重心,则++=0.2.若直线l的方程为Ax+By+C=0,则向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与直线l平行.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若∥,则A,B,C三点共线.( √ )(2

10、)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( × )(3)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是菱形.( √ )(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为,且

11、F1

12、=3,

13、F2

14、=5,则F1+F2的大小为.( √ )(5)设定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则点P的轨迹方程是x+2y-4=0.( √ )(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )题组二 教材改编2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3

15、,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 =(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),∴

16、

17、==2,

18、

19、==4,

20、

21、==6,∴

22、

23、2+

24、

25、2=

26、

27、2,∴△ABC为直角三角形.3.若O为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为________三角形.答案 等腰解析 ∵-==-,+-2=(-)+(-)=+,由已知(-)·(+-2)=0,得(-)·(+)=0,即(-)⊥(+).∴△ABC为等腰三角形.题组三 易错自纠4.在△ABC中,已知=(2,3),

28、=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,则实数k的值为________________.答案 -或或解析 ①若A=90°,则有·=0,即2+3k=0,解得k=-;②若B=90°,则有·=0,因为=-=(-1,k-3),所以-2+3(k-3)=0,解得k=;③若C=90°,则有·=0,即-1+k(k-3)=0,解得k=.综上所述,k=-或或.5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为________.答案 5解析 依题意得·=1×(-4)+2×2=0,所以⊥,所以四边形ABCD的面积为

29、

30、·

31、

32、=××=5.6.抛物线M的顶点是坐标原点O,焦

33、点F在x轴的正半轴上,准线与曲线E:x2+y2-6x+4y-3=0只有一个公共点,设A是抛物线M上一点,若·=-4,则点A的坐标是________________.答案 (1,2)或(1,-2)解析 设抛物线M的方程为y2=2px(p>0),则其准线方程为x=-.曲线E的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=16,则有3+=4,解得p=2,所以抛物线M的方程为y2=4x,F(1,0).设A,则=,=,所以·=-y=-4,解得y0=±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2).题型一 向量在平面几何中的应用典例(1)在平行四边形ABCD中

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