2016高考数学大一轮复习 5.4平面向量应用举例试题 理 苏教版

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1、第4讲　平面向量的综合应用一、填空题1．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝2，

6、c

7、＝，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析　由

8、a

9、＝1，

10、b

11、＝2，

12、c

13、＝，可得

14、

15、2＝

16、

17、2＋

18、

19、2，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，所以a·b＋b·c＋c·a＝2cos120°＋2cos150°＋0＝－4.答案　－42．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________.解析　由题知·＋·＝2，即·－·＝·(＋)＝2＝2⇒c＝

20、

21、＝.答案　3．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)

22、，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．解析　由已知得·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案　34．已知平面上有四个互异点A、B、C、D，若(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状为________．解析　由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)＋(－)]·(－)＝0，所以(＋)·(－)＝0.所以

23、

24、2－

25、

26、2＝0，∴

27、

28、＝

29、

30、，故△ABC是

31、等腰三角形．答案　等腰三角形5.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·＝________.解析　·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB，所以在上的投影为

32、

33、，所以·＝

34、

35、·

36、

37、＝2，同理·＝

38、

39、·

40、

41、＝，故·＝－2＝.答案　6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D，E分别为AB，BC的中点，且·＝·，则a2，b2，c2成________数列．解析　由·＝·，得(－)·(＋)＝(－)·(＋)，即2－2＝2－2，所以a2－b2＝b2－c2，所以a2，b2，c2成等差数列．答案　等差7．已知点P是边长为2的正

42、三角形ABC边BC上的动点，则·(＋)＝________.解析　如图，因为＋＝＝2，△ABC为正三角形，所以四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，所以在向量上的投影为.又

43、

44、＝，所以·(＋)＝

45、

46、·

47、

48、＝6.答案　68．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝________.解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2

49、λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.答案　9．设＝，＝(0,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝y－x的最小值是________．解析　由题得所以可行域如图所示，所以当直线y－x＝z经过点A(1,0)时，zmin＝－1.答案　－110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足

50、a

51、≥

52、b

53、>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝________.解析　根据题中给定的两个向量的新运算可知a∘b＝＝＝，b∘a＝，又由θ∈可得

54、a

55、≥

56、b

57、>0可得0<≤1

58、，于是0<<1，即b∘a∈(0,1)，又由于b∘a∈，所以＝，即

59、a

60、＝2

61、b

62、cosθ.①同理>，将①代入后得2cos2θ>，又由于a∘b∈，所以a∘b＝2cos2θ＝(n∈Z)，于是1<<2，故n＝3，∴cosθ＝，

63、a

64、＝

65、b

66、，∴a∘b＝×＝.答案　二、解答题11．已知在锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量m＝(sinB，－)，n＝，且m∥n.(1)求函数f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的单调递减区间；(2)若b＝1，求△ABC的面积的最大值．解　(1)因为m∥n，所以sinB＋cos2B＝2sinB

67、cosB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin＝0，所以B＝.所以f(x)＝sin(2x－B)＝sin.于是由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)当b＝1时，由余弦定理，得1＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac≥ac，所以S△ABC＝acsin≤，当且仅当a＝c＝1时等号成立，所以(S△ABC)max＝.12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，试求·的最小值．解　(1)因为(2a＋c)·＋c·＝0，所以(

68、2a＋c)accosB＋abccosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sin