2019版高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.4 直接证明与间接证明学案 理

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1、11．4　直接证明与间接证明[知识梳理]1．直接证明2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．[诊断自测]1．概念思辨(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻

2、找使结论成立的充要条件．(　　)(2)证明不等式＋＜＋最适合的方法是分析法．(　　)(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P90例5)用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为(　　)A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是

3、偶数答案　B解析　a，b，c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c中至少有两个偶数．故选B.(2)(选修A2－2P89T2)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．答案　m0，n>0，则m2－n2＝a＋b－2－a＋b＝2b－2＝2－2<0，∴m20，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)A.>B.＋

4、≤1C.≥2D.≤答案　D解析　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16.∴a2＋b2≥8，∴≤.故选D.(2)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案　①解析　取a＝－2，b＝－1，则a2＋b2>2，从而②推不出．①能够推出，即若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1

5、.题型1　分析法的应用　　已知a>0，证明：－≥a＋－2.本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法．证明　要证－≥a＋－2，只需证≥－(2－)．因为a>0，所以－(2－)>0，所以只需证2≥2，即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.因为a>0，a＋≥2显然成立，所以要证的不等式成立．方法技巧1．分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

6、2．分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接．②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．冲关针对训练(2018·天津期末)已知x>y>0，m>0.用分析法证明：(2－)≤1.证明　要用分析法证明：(2－)≤1，只需2－()2≤1，只需()2－2＋1≥0，即(－1)2≥0，因为x，y>0，且(－1)2≥0成立，所以(2－)≤1.题型2　综合法的应用　　设a，b，c均为正数，

7、且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.方法技巧

8、1．利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．2．综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用．见典例．(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明．冲关针